6．3.4 空间距离的计算 一、 单项选择题 1 (2024南通月考)在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，1)，B(0，1，0)，C(1，2，3)，则点C到直线AB的距离为( ) A. B. 2 C. 2 D. 3 2 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( ) A. B. C. D. 3 (2023岳阳期末)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面AEC1的距离等于( ) A. B. C. D. 4 (2024江西开学考试)在正三棱锥PABC中，AB＝PA＝，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则的值为( ) A. 3 B. C. D. 5 (2024茂名期末)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AC与A1D之间的距离是( ) A. B. C. D. 6 (2024北京开学考试)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AB上的点，且＝3，点P在线段D1E上，则点P到直线AD距离的最小值为( ) A. B. C. D. 二、 多项选择题 7 (2024永州开学考试)已知空间四点A(－1，1，0)，B(2，2，1)，C(1，1，1)，D(0，2，3)，则下列结论中正确的是( ) A. AB⊥CD B. AD＝ C. 点A到直线BC的距离为 D. 点D到平面ABC的距离为 8 (2024枣庄月考)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P满足＝x＋y＋，x∈[0，1]，y∈[0，1]，则下列结论中正确的是( ) A. 当x＝1时，A1P＋CP的最小值为 B. 当x＝y时，有且仅有一个点P满足BD1⊥DP C. 当x＋y＝1时，有且仅有一个点P满足到直线BB1的距离与到平面AA1D1D的距离相等 D. 当x2＋y2＝1时，线段AP扫过的图形面积为π 三、 填空题 9 (2024扬州月考)在空间直角坐标系中，M(0，0，1)为平面ABC外一点，其中A(1，0，0)，B(0，2，1)，若平面ABC的一个法向量为(1，y0，－1)，则点M到平面ABC的距离为_____． 10 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为_____． 11 已知在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为_____． 四、 解答题 12 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1. (1) 求证： AB1∥平面BC1D； (2) 求直线AB1到平面BC1D的距离． 13 如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角PBEC的余弦值为. (1) 求PD的长； (2) 求点C到平面PEB的距离． 6．3.4 空间距离的计算 1. A 由题意，得＝(－1，0，－1)，＝(0，1，2)，则||＝＝，||＝＝.设向量u是直线AB的单位方向向量，则u＝＝(－，0，－)，·u＝0＋0＋2×(－)＝－，则点C到直线AB的距离为＝＝. 2. B 以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，所以＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0).设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y，1)，则即解得故m＝(1，1，1).显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝. 3. A 以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，，0)，F(1，，1)，＝(1，－，0)，＝(1，－，0)，则＝，所以C1E∥CF.因为C1E 平面AC1E，CF 平面AC1E，所以CF∥平面AC1E.设平面AC1E的法向量为n＝(x，y，z)，＝(1，－，0)，＝(0，－，1)，则令x＝1，可得n＝(1，2，1)为平面AC1E的一个法向量．又＝(0，0，1)，所以直线FC到平面AEC1的距离为d＝＝＝. 4. D 在正三棱锥P ... ...
