数学 第6练 空间向量在立体几何中的应用（原卷版） 一、单项选择题 1．(2025·浙江金华期末)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中正确的是( ) A．v∥n1 l∥α B．n1⊥n2 α⊥β C．n1∥n2 α⊥β D．v⊥n1 l⊥α 2．已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是( ) A． B． C． D． 3．(2025·湖南湘潭模拟)在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，PA与平面ABCD所成的角为，则点D到平面PBC的距离为( ) A． B． C． D． 4．(2025·辽宁沈阳模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝CC1＝2，BC＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． 5．(2025·湖北武汉二中模拟)PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． 6．(2025·河南郑州模拟)已知点A(1，0，2)，B(－1，1，2)，C(1，1，－2)，则△ABC的面积是( ) A． B．2 C．5 D．1 7．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1，A1B1上的动点(不包括端点)，且满足EN⊥FM，则线段MN的长度的取值范围为( ) A． B． C． D．[2，2) 8．(2024·广州越秀区期中)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》中描述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”一个长方体ABCD－A1B1C1D1沿对角面斜解(图1)，得到两个一模一样的堑堵(图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2)，得到一个四棱锥，称为阳马(图3)，一个三棱锥，称为鳖臑(图4)．若鳖臑的体积为4，AB＝4，BC＝3，则在鳖臑中，平面BCD1与平面BC1D1夹角的余弦值为( ) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．(2025·重庆八中质检)在空间直角坐标系中，设a，b分别是异面直线l1，l2的两个方向向量，u，v分别是平面α，β的两个法向量，若a＝(1，1，2)，b＝(4，4，2)，u＝(－1，0，2)，v＝(2，2，1)，下列说法中正确的是( ) A．l1⊥α B．l2⊥β C．α∥β D．异面直线l1与l2所成角的余弦值为 10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是( ) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离是 C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 11. (2025·安徽黄山模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P满足＝λ(λ>0)，则( ) A．对于任意的正实数λ，三棱锥A1－BPC1的体积始终不变 B．对于任意的正实数λ，都有D1P∥平面A1BC1 C．存在正实数λ，使得异面直线D1P与BC1所成的角为 D．存在正实数λ，使得直线BP与平面AB1C所成的角为 三、填空题 12．(2024·山东济南一模)在三棱柱ABC－A1B1C1中，＝2，＝m，且BN∥平面A1CM，则m的值为_____． 13．已知空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)，且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为x＋2y－2z＋1＝0，直线l是平面x－y＋3＝0与平面x－2z－1＝0的交线，试写出直线l的一个方向向量为_____，直线l与平面α所成角的正弦值为_____． 14．在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为(1，2，3)，(4，1，5)，(2，3，4)，(6，6，1)，则其体积为_____． 四、解答题 15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点． 证明：(1)当＝3时，D1P∥平面BDC1； (2)当＝5时，A1C⊥平面D1AP. 16. (2022·新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面 ... ...
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