2024-2025 学年甘肃省酒泉市四校联考高二下学期 4 月期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数 ( ) = e ，则 ′(3) =( ) A. 3e3 B. 4e3 C. 2e3 D. 4e2 2.已知点 (3,2,4)， (4,5,7)，则 =( ) A. 19 B. 10 C. 19 D. 10 3.已知空间向量 = ( , 1,1)， = (2,2, 1)，若 ⊥ ，则 =( ) A. 1 B. 1 C. 1 12 D. 2 4 .已知函数 ( ) = 1，则曲线 = ( )在点 2, (2) 处的切线方程为( ) A. 4 = 0 B. + 4 = 0 C. + + 4 = 0 D. + 4 = 0 5.已知平面 的一个法向量为 = (1,1,1)，点 在 外，点 在 内，且 = (1, 2, 2)，则点 到平面 的距离为( ) A. 33 B. 3 C. 6 2 D. 6 6.在空间直角坐标系 中， = ( 1,2,1)， = (1,1,2)， = (2,1,1)，点 在直线 上运动，则 的最小值为( ) A. 32 B. 2 C. 3 D. 23 2 3 7.已知函数 ( ) = ( + )2在 = 2 处有极大值，则 =( ) A. 6 B. 2 C. 2 D. 6 8 ( ) = ln , > 0,.设函数 e ( + 1), ≤ 0,若函数 ( )的图象与直线 = 有两个交点，则实数 的取值范围是( ) A. (1, + ∞) B. 1e2 , 0 C. 1e2 , 0 ∪ (1, + ∞) D. (0,1] 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在平行六面体 1 1 1 1中， = = 1 = 2，∠ 1 = ∠ π 1 = ∠ = 3， 1 1与 1 1 交于点 .设 = ， = ， 1 = ，则下列说法正确的有( ) 第 1页，共 8页 A. 1 = + + B. = 1 1 2 2 + C. 1 = 8 D. 与 π 1的夹角为2 10.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且函数 ′( )的图象如图，则以下结论正确的有( ) A.函数 ( )在区间(2,4)上单调递减 B.函数 ( )在区间(1,3)上单调递减 C.当 = 12时，函数 ′( )有极大值 D.当 = 2 时，函数 ( )有极小值 11.已知函数 = 2 2 1，则下列说法正确的是( ) A.若曲线 = 在点 0, 0 处的切线方程为 = 2 ，则 = 1 B.若 = 1，则函数 在 0, + ∞ 上单调递增 C.若 > 2，则函数 在 1, + ∞ 上的最小值为 ln 1 D.若 ≥ 0，则 = 1 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知函数 ( ) = ′ π8 cos2 sin2 ，则 ′ π 8 = ． 13.已知函数 ( ) = 2 2 + ln 在区间(0,2]上单调递增，则实数 的取值范围为 ． 14.已知空间三点 (0,2,3)， ( 2,1,6)， (1, 1,5)，则以 ， 为边的平行四边形的面积是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) (1)如图，已知 , , , 分别为四面体 的棱 , , , 的中点，用空间向量法证明 , , , 四点共面． (2)在平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为 的正方形，侧棱长为 ，∠ 1 = ∠ 1 = 120°.求异面直线 1与 所成角的余弦值． 第 2页，共 8页 16.(本小题 15 分) 2 已知 ( ) = ln + 2 3 2e +4，曲线 = ( )在点 e, e 处的切线方程为 = e e 2 + 1． (1)求实数 , 的值； (2)若 ( ) = 312 4 ，求曲线 = ( )过点(2,4)的切线方程． 17.(本小题 15 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥平面 ， = = 2， 、 分别为 、 的中点． (1)证明： ⊥平面 ； (2)求平面 和平面 的夹角的余弦值． 18.(本小题 17 分) 已知函数 ( ) = 2 3 2 + ． (1)当 = 3 时，求 ( )的极值； (2)若 > 0，求 ( )在区间[0,1]上的最小值． 19.(本小题 17 分) 已知函数 ( ) = ln ． (1)讨论 ( )的单调性； (2)已知 ( )在[1,4]上的最小值为 2，求 的值； (3)若 = 1，且 ( ) ≤ e 2 ，求 的取值范围． 第 3页，共 8页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 2 2 或 2 + 2 13.( ∞,4] 14.7 3 15.解：(1)证明：以 , , 为空间的一组基． ∵ , , , 分别为棱 , , , 的中点， ∴ = = ... ...
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