2025年全国中学生数学奥林匹克（广西赛区）选拔赛试题 一、填空题（每小题10分，共80分.） 1. 1和千2 已知虚数z使得名=， 是实数，则z=▲ 2.若1og(x+2y)+10g5(x-2y)=1,则x-y的最小值是 的展开式中x4的系数是 、(用具体数字作答) 4. 已知△ABC的外心为O,且4OA+3OB+2OC=0,则cos∠ABC=▲ 5.数列a,满足a,=行且对一-切自然数n都有a=+a,则 2025 1 的整数部分 n=0 a +1 是 6.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 7.直线兰+上=1与稀圆兰+上=1相交于小B两点，点P在该椭圈上，且满足AP4B的 54 2516 面积等于9，这样的P点的个数是 8.设Z.为全体正整数集，A={n|n∈Z.,n3且ny4},B={nin∈Z,nlS},C=AUB. 将C中的元素从小到大排列得到数列{an}，则a2o2s=▲ 二、解答题(9、10每小题15分，11、12每小题20分，共70分.) 9.在七个数字1,2,3,4,5,6,7的所有排列中，求至少有两个相邻数字不互质的概率. 10.已知f()=(x-1)2，g()=4(x-1);数列{a.}满足(an1-a)g(a)+f(a)=0,其 中a1=2;数列亿n}满足bn=3f(an)-g(an1).求bn的最大值与最小值. 11.在Rt△ABC的斜边AB上取一点D,使得△ACD和△BCD 的内切圆半径相等.求证：CD2=SMBc 12.已知a,b,c是正实数，求证： a+b+c c之11T之a+b-cb+c-ac+a- q +- 2+e2 2025年全国中学生数学奥林匹克（广西赛区）选拔赛 试题参考答案 一、填空题（每小题10分，共80分.） 2 2 提示： e2+0=;《0+5+1=z,+=0-)小. 1+32=3, 由+2,1-2为实数，：为虚数可知1-2=0. 于是3=(2+101+z)52=(2+101+),1+2+22=0.故1=32=-1. 因此，：=-+5或者：=-15， 2 2 22 25 2 提示：由log(x+2y)+log,(x-2y)=1可得1x-4|y2=5,1x>2 令ux,1yl,kx-yl,则2-42=5，k>0.方程(t+k)2-4r2=5,即 3-2+5-k)=0有正实数解.故A=42-125-k)≥0,4k2≥15，k之 2 当=时1=店，42正.图此时-的最小值为 2 6 3 3.264 4 _x+2少，所以展开式中x的系数是C品·2=264， 6 提示：因为x++4 4.10 提示：不妨设△4BC的外接圆半径为1.由40A+30B+20元=0得40A=-30B-20元， 1610if=910f+41ocf+120B.0c,故08.0c-} 同理可得01.0C:60丽01=名 .BA.BC=04-0B)OC-OB)=04.0C-04.0B-OB.OC+0B.OB 1
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