2025年中考数学压轴题系列：圆综合（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年中考数学压轴题系列：圆综合 1．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“正德四边形”． (1)①若是圆的“正德四边形”，则是 （填选项：A．矩形；B．菱形；C．正方形）； ②若四边形是的正德四边形，若，，则 ； (2)如图1，已知的半径为，四边形是的“正德四边形”．求证：； (3)如图2，四边形是“正德四边形”，为圆内一点，，，且，当的长度最小时，求的值． 2．如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）． (1)当时，求证：； (2)连接，交半径于点M，已知． ①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值； ②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长． 3．已知：矩形的边长为2，点P在射线上，过点O、P的与相切于点P． (1)如图1，若点B在对角线上，且，则的长度是_____； (2)如图2，以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系，，设， ①求点B坐标（用含n的代数式表示）． ②连接，设且，当M取最大值时，作于E交于F，与交于G，求的值． 4．已知四边形内接于，平分． (1)如图1，求证： (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取一点E，连接．若，，，将直线沿翻折交于点F，连接，求的长． 5．综合与实践：小华发现这么一类四边形，它们有一组对角之和为直角，小华将这类四边形命名为对余四边形． 性质判断 (1)若四边形是对余四边形，则与是否互余？ （填“一定”或“不一定”）； 性质探究 (2)如图1， 在上有，，三点，是的直径，，相交于点．求证：四边形是对余四边形； (3)如图2， 在对余四边形中， ，，，则线段，和之间有怎样的数量关系？并说明理由； 拓展应用 (4)如图3， 在对余四边形中， ， 对角线边．若．，，直接写出的长． 6．在平面直角坐标系中，过上一点P作切线l，在圆的外部过点P分别作射线，，当时，则称，为点P关于该圆的“关联等角射线”．如图1． (1)如图2，的半径为1，已知，，，，在射线，，中，的“关联等角射线”是_____； (2)如图3，的半径为1，点P在第三象限，，为点P关于“关联等角射线”，与x轴平行，与y轴平行，则此时的度数为_____°； (3)如图4，点M的坐标为，的半径为1．点P在第一象限，，为点P关于“关联等角射线”，若过点O，与坐标轴无公共点，设切点P的纵坐标为，则的取值范围是_____． 7．如图1，内接于，其中．点E在射线上，且满足，交于点H，交于点P． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，连结，交于点K，若H为中点，求证：； (3)如图3，若线段过圆心O，求的值． 8．如图，在中，，，，点D在边的延长线上，过点D作且，连接，点P为的中点． (1)求的长； (2)连接，，，请判断是否为等边三角形？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由； (3)以点C为圆心，3为半径作，交边于点M，点Q是上的动点，连接，，求的最小值． 9．如图1和图2，在矩形中，，点在线段上，其中．以点为圆心，长为半径作．若交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段（若与有两个交点，规定位于点上方的交点为点）． (1)如图1，当点在延长线上时，求点到直线的距离； (2)当圆心到的距离为时，如图2． 请用无刻度的直尺和圆规作线段，用其长度表示圆心到的距离（保留作图痕迹，不写作法）； 求此时落在矩形内部的弧长； (3)若点在上方．当点恰好落在边上时，如图3，求点到直线的距离之比； (4)当与边相切时，请直接写出线段的长． 10．【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开 ... ...