2024-2025学年河南师大附中高一（下）期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则( ) A. B. C. D. 2.已知正方形的边长为，则等于( ) A. B. C. D. 3.已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积是( ) A. B. C. D. 5.如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，下列说法不正确的是( ) A. 对任意点，平面 B. 三棱锥的体积为 C. 线段长度的最小值为 D. 存在点，使得与平面所成角的大小为 6.如图，在直三棱柱中，是边长为的正三角形，，为棱上的中点，为棱上的动点，过作平面的垂线段，垂足为点，当点从点运动到点时，点的轨迹长度为( ) A. B. C. D. 7.如图，四边形是边长为的菱形，半圆面底面，点为圆弧上的动点当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.在中，内角，，的对边分别是，，，，，，则线段长度的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.内角，，的对边分别为，，已知，且，则下列结论正确的是( ) A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 10.九章算术里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”在鳖臑中，，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是( ) A. B. C. 直线与平面所成角的正弦值 D. 内切球的半径为 11.对非零向量，定义运算“”：，其中为与的夹角，则( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若中，，则 D. 若中，，则是等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在中，，，，在边上，延长到，使得，若为常数，则的长度是 ． 13.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_____． 14.在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知平面向量，且． 若，且，求向量的坐标； 若，求在方向的投影向量用坐标表示． 16.本小题分 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，在棱上且． 求证：平面； 线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由． 17.本小题分 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且． 求角的大小； 若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 18.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，且． 求角； 若的角平分线交于点，，，求； 若的外接圆的半径为，求的取值范围． 19.本小题分 如图所示，正方体的棱长为． 过正方体的顶点，，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； 若，分别是棱，的中点，请画出过，，三点的平面与正方体表面的交线保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由，并求出交线围成的多边形的周长； 设正方体外接球的球心为，求三棱锥的体积． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：设， ， ， 又， ， ， ， 或， 或； ， ， 在上的投影向量为． 16.证明：因为，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 解：存在，且当点为上靠近点三等分点时， 即时，平面平面． 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 因为在棱上且，即， 又因为，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又 ... ...
