中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 §5 从力的做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积 A级必备知识基础练 1.[探究点二]已知|b|=3,a在b上的投影向量为b,则a·b的值为( ) A.3 B. C.2 D. 2.[探究点一]已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 3.[探究点三]设向量a,b满足|a+b|=2,|a-b|=,则a·b等于( ) A. B.- C. D.- 4.[探究点一]已知在△ABC中,AB=AC=4,=8,则△ABC的形状是 ,= . 5.[探究点一、二]已知|a|=5,|b|=4. (1)若a与b的夹角为θ=120°. ①求a·b; ②求a在b上的投影向量. (2)若a∥b,求a·b. B级关键能力提升练 6.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于( ) A.-7 B.7 C.25 D.-25 7.已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b·(a-b)=0,则|b|的取值范围是 . 8.已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角. C级学科素养创新练 9.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证:(a-b)⊥c; (2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求实数k的取值范围. §5 从力的做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积 1.B 设
=θ, 由题可知|a|cos θb, ∴|a|cos θ, ∴|a|cos θ=, ∴a·b=|a||b|cos θ=3×. 2.C 设=θ,θ∈[0,π]. 因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos θ=3, 所以cos θ=-, 又因为θ∈[0,π], 所以θ=. 3.A |a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=8,① |a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=3,② 由①-②得4a·b=5, ∴a·b=. 4.等边三角形 -8 =||||cos∠BAC, 即8=4×4×cos∠BAC, 于是cos∠BAC=, 因为0°<∠BAC<180°, 所以∠BAC=60°. 又AB=AC,故△ABC是等边三角形,BC=4. 此时=||||cos 120°=-8. 5.解 (1)①a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 120°=-10. ②a在b上的投影向量为|a|cos θ=5×-×=-b. (2)∵a∥b,∴a与b的夹角为α=0°或180°. 当α=0°时,a·b=|a||b|cos 0°=20; 当α=180°时,a·b=|a||b|cos 180°=-20. 6.D 由题意知∠ABC=90°,所以cos∠BCA=,cos∠CAB=,所以原式=0+4×5×cos(180°-∠BCA)+5×3×cos(180°-∠CAB)=-20cos∠BCA-15cos∠CAB=-20×-15×=-25. 7.[0,1] 记=θ,θ∈[0,π]. ∵b·(a-b)=a·b-|b|2=|a||b|cos θ-|b|2=0, ∴|b|=|a|cos θ=cos θ, ∴0≤|b|≤1. 8.解 由已知条件得, 即 ②-①得,23b2-46a·b=0, ∴2a·b=b2, 代入①得a2=b2, ∴|a|=|b|,记=θ,θ∈[0,π], ∴cos θ=. ∵θ∈[0,π],∴θ=. 9.(1)证明因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0,所以(a-b)⊥c. (2)解因为|ka+b+c|>1, 所以(ka+b+c)2>1, 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1, 因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-, 所以k2-2k>0,解得k<0或k>2.所以实数k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 
