中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 A级必备知识基础练 1.[探究点一]已知点A(-2,-3),B(19,4),C(-1,-6),则△ABC是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2.[探究点二]在四边形ABCD中,若=(1,3),=(-6,2),则该四边形的面积为( ) A. B.2 C.5 D.10 3.[探究点二]一条河宽为8 000 m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为 h. 4.[探究点一]已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则()·= . 5.[探究点一]如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC. B级关键能力提升练 6.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3=0,则△ABM与△ABC的面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 7.如图所示,两根固定的光滑硬杆OA,OB成θ角,在杆上各套一小环P,Q,且P,Q用轻线相连.现用恒力F沿方向拉环Q,则当两环稳定时,轻线上的拉力的大小为 . 8.如图,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DP⊥EF. 9.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360 N,则该学生的体重(单位:kg)约为多少 (参考数据:取重力加速度大小为10 m/s2,≈1.732) C级学科素养创新练 10.已知某河流河水自西向东流速大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2. (1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小; (2)若此人实际前进方向与水流垂直,且|v2|= m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小. 1.C =(19,4)-(-2,-3)=(21,7), =(-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3), =21-21=0,∴. 则∠A=90°,又||≠||, ∴△ABC为直角三角形. 2.D ∵=0,∴AC⊥BD. ∴四边形ABCD的面积为|||=×2=10. 3.0.5 如图,不妨设水流的速度为v2,v实际=v船+v水=v1+v2, |v1|=20,|v2|=12, ∴|v实际|= ==16(km/h). ∴所需时间t==0.5(h). 4.- 如图,以A为坐标原点,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(2,0),D(0,1), ∴C(2,1). ∵E,F分别为BC,CD的中点, ∴E2,,F(1,1), ∴=3,,=(-2,1), ∴()·=3×(-2)+×1=-. 5.证明 设=a,=b,=e,=c,=d, 则a=e+c,b=e+d, 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2, 由条件知,a2=c2-d2+b2, 所以e·c=e·d, 即e·(c-d)=0,即=0, 所以AD⊥BC. 6.B 如图,D为BC边的中点, 则). 因为3=0, 所以3=2, 所以, 所以S△ABM=S△ABD=S△ABC. 7. 对受力进行分析,依题意,重力可以忽略不计,记Q受轻线的拉力为T,由于两环稳定时受力平衡,只能是轻线与OA杆垂直,即轻线与OB的夹角为-θ,故|T|=. 8.证明 (方法一)设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0
