第4章　三角恒等变换 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 §2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 A级必备知识基础练 1.[探究点二]已知sin α=,α∈0,,则cos+α等于(　　) A. B. C.- D.- 2.[探究点二]已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=,sin β=-,则cos(α-β)的值为(　　) A.- B.- C. D. 3.[探究点二]若α∈(0,π),且cosα+=,则cos α等于(　　) A. B. C. D. 4.[探究点一]化简:cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)sin(α+5°)=　　　　. 5.[探究点三]已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,π,α+β∈,2π,求角β的值. 6.[探究点三]已知tan α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求β的值. B级关键能力提升练 7.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为(　　) A. B.- C. D.- 8.已知tan αtan β=2,cos(α+β)=-,则cos(α-β)=(　　) A. B.- C. D.- 9.在△ABC中,A,B,C为三个内角,向量p=(cos B,-sin B),q=(cos C,sin C),且(q-2p)⊥q,则A=　　　　　. 10.已知△ABC中,sin(A+B)=,cos B=-,则sin B=　　　　,cos A=　　　　. 11.若0<α<,-<β<0,cos,cos=,则sin=　　　　　,cosα+=　　　　　. 12.若α∈,π,β∈0,,cos(α-β)=-,tan α=-,求cos β的值. C级学科素养创新练 13.化简:=　　　　. 14.在平面直角坐标系中,已知角α,β的顶点都在坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,角α的终边上有一点A,坐标为(1,-1). (1)求cosα+的值; (2)若角β满足下列三个条件之一: ①锐角β满足tan β=2;②锐角β的终边在直线y=2x上;③角β的终边与的终边相同. 请从上述三个条件中任选一个,求cos(α-β)的值. §2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 1.B　∵α∈0,,∴cos α>0,∴cos α=,∴cos+α=cos2π-+α=cosα-=cos αcos+sin αsin. 2.A　∵α为锐角,且cos α=,∴sin α=.∵β为第三象限角,且sin β=-,∴cos β=-=-,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×-+×-=-. 3.C　因为α∈(0,π)且cosα+=,所以α+∈0,,sinα+=.cos α=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin. 4.　原式=cos [(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=. 5.解由α-β∈,π,cos(α-β)=-, 得sin(α-β)=. 由α+β∈,2π,且cos(α+β)=, 得sin(α+β)=-. ∴cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×-+-×=-1. 又α+β∈,2π,α-β∈,π,∴2β∈. ∴2β=π,则β=. 6.解因为α∈0,,tan α=4, 所以sin α=4cos α, ① 又sin2α+cos2α=1, ② 由①②得sin α=,cos α=. 因为α+β∈(0,π),cos(α+β)=-, 所以sin(α+β)=, 所以cos β=cos [(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-×. 又0<β<,所以β=. 7.A　∵α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,∴sin α=,sin(α+β)=,∴cos(2π-β)=cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×.故选A. 8.A　由cos(α+β)=-,知cos αcos β-sin αsin β=-, 又tan αtan β=2=, 所以cos αcos β=,sin αsin β=, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 故选A. 9.　因为(q-2p)⊥q,所以(q-2p)·q=0, 即|q|2-2p·q=0. 因为p=(cos B,-sin B),q=(cos C,sin C),所以cos2C+sin2C-2(cos Bcos C-sin Bsin C)=0,所以1-2cos(B+C)=0,所以cos(B+C)=,即cos A=-. 因为A∈(0,π),所以A=. 10.　在△ABC中,因为cos B=-<0, 所以B为钝角,则sin B=, 所以A+B∈,π, 由sin(A+B)=,得cos(A+B)=-, 所以cos A=cos [(A+B)-B] =cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B =-×-+. 11.　因为0<α<,所以+α<, 又cos,所以sin, 因为-<β<0,所以, 又cos,所以sin. 于是cos=cos =cos+αcos+sinsin. 12.解因为α∈,π,且tan α=-, 所以sin α=,cos ... ...