中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 §3 二倍角的三角函数公式 3.1 二倍角公式 A级必备知识基础练 1.[探究点一]cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值等于( ) A. B. C. D.1+ 2.[探究点二]若α∈0,,且sin2α+cos 2α=,则tan α的值等于( ) A. B. C. D. 3.[探究点二]若,则cos-2α的值为( ) A. B.- C.- D. 4.[探究点二]已知tan α=,tan β=,且α,β均为锐角,则α+2β的值为( ) A. B. C. D. 5.[探究点三]化简:= . 6.[探究点二]已知cosα-=,则sinα+= ,sin 2α= . B级关键能力提升练 7.若α∈,且cos2α+cos,则tan α=( ) A. B. C. D.或-7 8.(2π<α<3π)的化简结果为 . 9.已知sin α+3cos α=0,则sin 2α+cos2α= . 10.求函数f(x)=sin2x+-3cos x的最小值. 11.已知tan α=,cos β=且0<α<<β<2π. (1)求tan 2α的值; (2)求α+β的值. C级学科素养创新练 12.某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°; cos280°+cos2(-50°)-sin 80°sin(-50°); cos2170°+cos2(-140°)-sin 170°sin(-140°). (1)求出这个常数; (2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. §3 二倍角的三角函数公式 3.1 二倍角公式 1.C 原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+. 2.D ∵sin2α+cos 2α=,∴sin2α+cos2α-sin2α=cos2α=,∴cos α=±.又α∈0,,∴cos α=,sin α=.∴tan α=. 3.A 因为,所以,所以cos α-sin α=,平方得1-2cos αsin α=,所以sin 2α=,所以cos-2α=sin 2α=. 4.C tan 2β=,tan(α+2β)==1.因为α,β均为锐角,且tan α=<1,tan β=<1,所以α,β∈0,,所以α+2β∈0,,所以α+2β=. 5.-1 原式==-=-=-1. 6. - sinα+=sinα-+=cosα-=.sin 2α=sin2α-+=cos 2α-=2cos2α--1=2×2-1=-. 7.C cos2α+cos=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=或tan α=-7. 又α∈,所以tan α=.故选C. 8.2sin 因为2π<α<3π,所以π<,所以=2sin. 9.- 因为sin α+3cos α=0,所以sin α=-3cos α,所以tan α==-3,所以sin 2α+cos2α==-. 10.解∵f(x)=sin2x+-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1, 令t=cos x,g(t)=-2t2-3t+1,则t∈[-1,1]. 又函数g(t)图象的对称轴方程为t=-∈[-1,1],且开口向下, ∴当t=1时,g(t)有最小值-4. ∴f(x)的最小值为-4. 11.解(1)因为tan α=, 所以tan 2α=. (2)因为cos β=<β<2π, 所以sin β=-=-=-, 所以tan β==-2, 所以tan(α+β)==-1, 因为0<α<<β<2π,所以<α+β<, 所以α+β=. 12.解(1)cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°=2cos215°-sin215°=1+cos 30°-(1-cos 30°)=1+×1-=.故这个常数为. (2)推广:当α+β=30°时,cos2α+cos2β-sin αsin β=. 证明:cos2α+cos2β-sin αsin β=cos2α+cos2(30°-α)-sin αsin(30°-α)=×-×[cos 30°-cos(2α-30°)]=1+[cos 2α+cos(60°-2α)]+-cos(2α-30°)=1+·2cos 30°cos(2α-30°)+cos(2α-30°)=1+cos(2α-30°)+cos(2α-30°)=. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...
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