中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 习题课 三角恒等变换的综合应用 A级必备知识基础练 1.[探究点四]函数f(x)=cos2x+sin x(x∈R)的最小值为( ) A. B.1 C.-1 D.-2 2.[探究点四]已知函数f(x)=sin-xsin x-cos2x+,x∈0,,则f(x)的值域为( ) A.-,1 B.-,1 C.-,-1 D.-,1 3.[探究点四]已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(1,),其中θ∈[0,π],则a·b的取值范围是( ) A.[-1,2] B.[-1,1] C.[-2,2] D.[-,2] 4.[探究点二]化简= . 5.[探究点一]已知tan α=2. (1)求tan的值; (2)求的值. 6.已知5sin β=sin(2α+β),求证:2tan(α+β)=3tan α. B级关键能力提升练 7.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x+1,则 ( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 8.已知函数f(x)=mcos2x+2msin x+,其中m>0.若函数f(x)的最大值记为g(m),则g(m)的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若tan Atan B=4(tan A+tan B)tan C,则= . 10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0). (1)若x=,求向量a,c的夹角; (2)当x∈时,求函数f(x)=2a·b+1的最大值. C级学科素养创新练 11.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值. 习题课 三角恒等变换的综合应用 1.C 由已知f(x)=1-sin2x+sin x,令t=sin x,g(t)=-t2+t+1=-t-2+,则t∈[-1,1],∴t=-1时,g(t)min=-1,即f(x)min=-1.故选C. 2.B f(x)=sin-xsin x-cos2x+=cos x·sin x-cos2x+sin 2x-cos 2x=sin2x-,因为x∈0,,所以2x-∈-,sin2x-∈-,1,即函数f(x)的值域为-,1,故选B. 3.A a·b=cos θ+sin θ=2sinθ+,∵θ∈[0,π],∴θ+∈,∴sinθ+∈-,1,∴a·b∈[-1,2].故选A. 4. 原式=tan(90°-2α)·. 5.解(1)tan=-3. (2) = = ==1. 6.证明5sin β=5sin[(α+β)-α]=5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α, sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α. 因为5sin β=sin(2α+β),所以5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,所以4sin(α+β)cos α=6cos(α+β)sin α, 所以2tan(α+β)=3tan α. 7.B 由f(x)=2sin xcos x+2cos2x+1=sin 2x+cos 2x+2=2sin2x++2,∴f(x)的最大值为4,T==π.故选B. 8.D f(x)=mcos2x+2msin x+=-msin2x+2msin x+m+=-m(sin x-1)2+2m+,因为m>0,所以当sin x=1时,f(x)max=g(m)=2m+≥2=4,当且仅当2m=,即m=1时取等号.故选D. 9.9 因为tan Atan B=4(tan A+tan B)tan C, 所以=4××=4××=4×,即,故原式化为sin Asin B=,由正、余弦定理得ab=,即ab·=4c2, 所以a2+b2-c2=8c2,所以=9. 10.解(1)因为a=(cos x,sin x),c=(-1,0), 所以|a|==1,|c|==1. 当x=时,a=, a·c=×(-1)+×0=-,cos
==-.因为0≤≤π,所以=. (2)f(x)=2a·b+1=2(-cos2x+sin xcos x)+1=2sin xcos x-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin. 因为x∈, 所以2x-, 所以sin, 所以当2x-, 即x=时,f(x)最大值为1. 11.解过点B作BH⊥OA,垂足为H. 设∠OAD=θ0<θ<,则∠BAH=-θ,OA=2cos θ, BH=sin-θ=cos θ,AH=cos-θ=sin θ, 所以B(2cos θ+sin θ,cos θ),OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos2θ=7+6cos 2θ+2sin 2θ=7+4sin2θ+. 由0<θ<,知<2θ+, 所以当θ=时,OB2取得最大值7+4. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ... 
