中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 1.3 简单旋转体———球、圆柱、圆锥和圆台 A级必备知识基础练 1.[探究点一](多选)下列说法中正确的是( ) A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 2.[探究点一]下列说法正确的是( ) A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 3.[探究点三]已知圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为( ) A.10 cm B.20 cm C.20 cm D.10 cm 4.[探究点二]在半径为13的球面上有A,B,C三点,其中AC=6,BC=8,AB=10,则球心到经过这三个点的截面的距离为 . 5.[探究点三]已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为 .(用Q表示) 6.[探究点四·2024浙江杭州高一期中]已知圆柱的轴截面面积为1,则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为 . B级关键能力提升练 7.如图,用一边长为2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( ) A. B. C. D. 8.已知圆锥的底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,则这个正方体的棱长为 . 9.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是 .(填序号) C级学科素养创新练 10.如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求: (1)绳子的最短长度的平方f(x); (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离; (3)f(x)的最大值. 1.3 简单旋转体——— 球、圆柱、圆锥和圆台 1.ACD 2.D 圆锥的母线长与底面圆的直径不一定相等,故A错误;圆柱的母线与轴平行,故B错误;圆台的母线与轴不平行,故C错误;球的直径必过球心,故D正确.故选D. 3.A 圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高,设为h cm. 这个等腰三角形的腰长为20 cm,顶角的一半为30°. 故h=20cos 30°=10(cm). 4.12 由题知,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,所以其外接圆的半径r==5,所以d==12. 5. 设圆柱的底面半径为r,则母线长为2r,∴轴截面的面积为4r2=Q,解得r=,∴此圆柱的底面半径为. 6.4 设圆柱的底面半径为r,高为h, 则2rh=1,所以h=, 所以该圆柱侧面展开图的周长l=2(h+2πr)=2h+4πr=+4πr≥2=4, 当且仅当=4πr,即r=时,等号成立, 所以该圆柱侧面展开图的周长的最小值为4. 7.B 折起后的蛋巢四个小三角形顶点构成边长为1的正方形,其外接圆半径r=,球半径R=1,由球面的截面小圆性质知,球心到截面距离d=, 蛋巢四个小三角形顶点到蛋巢底的距离为边长是1的小等腰三角形的高,等于, 所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为. 8. 过内接正方体上、下底面的一组对角线作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x. 因为△VA1C1∽△VMN,所以,即, 所以hx=2rh-2rx,即x=. 故这个正方体的棱长为. 9.①⑤ 由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴,故只能是①⑤. 10. 解将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA'的长度L就是圆O的周长, ∴L=2πr=2π, ∴∠ASM=. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM, 其值为AM=(0≤x≤4), ∴f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). (2)绳子最短时,在展开图中作SR⊥AM,垂足为R, 则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离, 在△SAM中, ∵S△SAM=SA×SM=AM×SR, ∴SR=( ... ...
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