第6章　立体几何初步 5.2　平面与平面垂直--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 5.2　平面与平面垂直 A级必备知识基础练 1.[探究点二]设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法中正确的是(　　) A.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β B.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥β C.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β D.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β 2.[探究点二](多选)如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,则下列说法正确的有(　　) A.平面PAD⊥平面PAB B.平面PAD⊥平面PCD C.平面PBC⊥平面PAB D.平面PBC⊥平面PCD 3.[探究点一]已知正三棱锥S-ABC的所有棱长均为2,则侧面与底面所成二面角的余弦值为　. 4.[探究点三]如图所示,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1,求证:CF⊥平面BDE. 5.[探究点四]如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,△PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD的中点.求证: (1)BG⊥平面PAD; (2)AD⊥PB. B级关键能力提升练 6.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A',B',则AB∶A'B'等于(　　) A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3 7.在Rt△ABC中,C=90°,CA=,CB=,CD是斜边的高线.现将△ACD沿CD折起,使平面ACD⊥平面BCD,则折叠后AB的长度为(　　) A.2 B. C. D.3 8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且四边形ABCD为菱形,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只填写一个正确的条件即可) 9.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.求证: (1)EF⊥CD; (2)平面SCD⊥平面SCE. C级学科素养创新练 10.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2. 图1 图2 (1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图2中的四边形ACGD的面积. 5.2　平面与平面垂直 1.C　∵m∥α,m∥n,∴n∥α或n α.又n⊥β,∴α⊥β. 2.ABC　∵PA⊥平面ABCD,且AB,CD 平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥CD.又四边形ABCD为矩形,∴AD⊥CD,AD⊥AB.∵PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,∴CD⊥平面PAD,AB⊥平面PAD.同理,BC⊥平面PAB,∴平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PAB,故选ABC. 3.　如图,取BC的中点E,连接SE,AE, ∵SB=SC=AB=AC, ∴SE⊥BC,AE⊥BC,∴∠SEA即为所求二面角的平面角. ∵SA=2,SE=AE=, ∴cos∠SEA=. 4.证明如图所示,设AC∩BD=G,连接EG,FG. 由AB=,知CG=1,则EF=CG=CE. 又EF∥CG,所以四边形CEFG为菱形,所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC. 又平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC, 所以BD⊥平面ACEF. 因为CF 平面ACEF,所以BD⊥CF. 又BD∩EG=G,BD,EG 平面BDE, 所以CF⊥平面BDE. 5.证明(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点, ∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG 平面PAD, ∴PG⊥平面ABCD. 又BG 平面ABCD,∴PG⊥BG. ∵四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°, ∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD. 又AD∩PG=G,AD,PG 平面PAD, ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知,BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG 平面PBG, ∴AD⊥平面PBG. 又PB 平面PBG,∴AD⊥PB. 6.A　由已知条件可知∠BAB'=,∠ABA'=. 设AB=2a,则BB'=2asina,A'B=2acosa,∴在Rt△BB'A'中,得A'B'=a,∴AB∶A'B'=2∶1. 7.C　在直角三角形ABC中,C=90°,CA=,CB=, 可得AB==3, 由射影定理可得AC2=AD×AB,即6=3AD,可得AD=2,BD=AB-AD=3-2=1, 由于平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,AD 平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD, 所以AD⊥平面BCD,即有AD⊥BD, 所以AB=. 故选C. 8.DM⊥PC(答案不唯一)　由题意得BD⊥AC. ∵PA ... ...