数学 第11练 定点、定值、定直线问题（原卷版） 1. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，O为坐标原点，焦点在直线2x＋4y－1＝0上． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点(4，0)作动直线l与抛物线C交于M，N两点，直线OM，ON分别与圆(x－1)2＋y2＝1交于点P，Q(异于点O)，设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2. ①求证：k1k2为定值； ②求证：直线PQ恒过定点． 2．(2025·广东汕头模拟)设A，B两点的坐标分别为(－，0)，(，0)，直线AH，BH相交于点H，且它们的斜率之积是－.设点H的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不经过点A的直线l与曲线C相交于E，F两点，且直线AE与直线AF的斜率之积是－，求证：直线l恒过定点． 3．已知圆A1：(x＋1)2＋y2＝16，直线l1过点A2(1，0)且与圆A1交于B，C两点，BC的中点为D，过A2C的中点E且平行于A1D的直线交A1C于点P，记P的轨迹为Γ. (1)求Γ的方程； (2)坐标原点O关于A1，A2的对称点分别为B1，B2，点A1，A2关于直线y＝x的对称点分别为C1，C2，过A1的直线l2与Γ交于M，N两点，直线B1M，B2N相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明． ①△QB1C1的面积是定值；②△QB1B2的面积是定值；③△QC1C2的面积是定值． 4. (2025·山东济南模拟)如图，已知点T1(3，－)和点T2(－5，)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，双曲线C的左顶点为A，过点L(a2，0)且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ与圆O：x2＋y2＝a2分别交于点M，N. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值； (3)证明：直线MN过定点． 第11练 定点、定值、定直线问题（解析版） 1. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，O为坐标原点，焦点在直线2x＋4y－1＝0上． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点(4，0)作动直线l与抛物线C交于M，N两点，直线OM，ON分别与圆(x－1)2＋y2＝1交于点P，Q(异于点O)，设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2. ①求证：k1k2为定值； ②求证：直线PQ恒过定点． 解：(1)易知直线2x＋4y－1＝0与x轴交于点， 即焦点坐标为， 所以＝，p＝1， 则抛物线的标准方程为y2＝2x. (2)证明：①设直线MN的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程得y2－2my－8＝0， 所以y1y2＝－8，又 所以yy＝4x1x2＝64，即x1x2＝16， 则k1k2＝·＝＝－，为定值． ②设直线PQ的方程为x＝ty＋n，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 联立方程 得(t2＋1)y2＋2t(n－1)y＋n2－2n＝0， 所以y3＋y4＝－，y3y4＝， k1k2＝·＝ ＝＝－. 整理得＝－，n＝， 所以直线PQ过定点. 2．(2025·广东汕头模拟)设A，B两点的坐标分别为(－，0)，(，0)，直线AH，BH相交于点H，且它们的斜率之积是－.设点H的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不经过点A的直线l与曲线C相交于E，F两点，且直线AE与直线AF的斜率之积是－，求证：直线l恒过定点． 解：(1)设点H的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－，0)， 所以直线AH的斜率kAH＝(x≠－)， 同理，直线BH的斜率kBH＝(x≠)， 由已知，有·＝－(x≠±)， 化简，得＋y2＝1(x≠±)， 所以曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)． (2)证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)． ①当直线l的斜率不存在时， 可知x2＝x1，y2＝－y1， 且有 解得x1＝0，y1＝±1，此时直线l为x＝0； ②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b， 则此时有kAE·kAF＝· ＝ ＝＝－. 联立直线方程与椭圆方程消去y可得(3k2＋1)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，Δ＝12(3k2－b2＋1)>0， 根据根与系数的关系可得 x1＋x2＝，x1x2＝， 所以＝－， 所以＝－， 所以＝－1， 所以b2－kb＝0，则b＝0或b＝k， 当b＝k时，则直线l：y＝k(x＋)恒过点A，与题意不符，舍去， 故b＝0，直线l恒过定点(0，0)，此时Δ>0恒成立． 结合①②可知，直线l恒过定点(0，0)，原命题得证． 3． ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
