数学 第12练 最值、范围问题（原卷版） 1. 如图，已知椭圆＋y2＝1，设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于点C，D. (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点Q在C上． (1)若P是C上一动点，求·的取值范围； (2)过C的右焦点F2，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值． 3．(2025·湖北重点中学联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上一点与右焦点F(2，0)的最短距离为. (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线x＝ty＋2与双曲线的右支交于A，B两点，与渐近线交于C，D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围； ②设S1，S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1＋S2的最大值． 4．(2024·湖南长沙一模)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过点P的直线与C交于A，B两点(点A在点B的左侧)． (1)若A是线段PB的中点，求点A的坐标； (2)若直线AF与C的另一交点为D，记△BDP内切圆的半径为r，求r的取值范围． 第12练 最值、范围问题（解析版） 1. 如图，已知椭圆＋y2＝1，设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于点C，D. (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． 解：(1)设椭圆上任意一点M(x，y)， 则|PM|2＝x2＋(y－1)2＝12－12y2＋y2－2y＋1＝－11y2－2y＋13，y∈[－1，1]， 而函数z＝－11y2－2y＋13的图象的对称轴为y＝－∈[－1，1]， 则其最大值为－11×＋2×＋13＝， ∴|PM|max＝＝， 即点P到椭圆上点的距离的最大值为. (2)设直线AB的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)，联立消去y，整理得(1＋12k2)x2＋12kx－9＝0，Δ＝144k2＋36(1＋12k2)＝36(1＋16k2)>0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－， 直线PA的方程为y＝x＋1， 联立 整理得xC＝＝， 同理，xD＝， ∴|CD|＝· ＝ ＝ ＝·＝， 令3k＋1＝m(m≠0)， ∴|CD|＝· ＝·， ∴当m＝，即k＝时，|CD|取得最小值，为. 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点Q在C上． (1)若P是C上一动点，求·的取值范围； (2)过C的右焦点F2，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值． 解：(1)由题意知c＝，所以a2＝b2＋3. 将点Q代入＋＝1，解得b＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 设点P(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－2. 又因为x∈[－2，2]， 所以·的取值范围是[－2，1]． (2)依题意，可设直线l的方程为x＝my＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立 得(m2＋4)y2＋2my－1＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以S△F MN＝×2×|y1－y2| ＝× ＝4×， 又因为＝＝≤， 当且仅当m＝±时，等号成立． 所以S△F1MN≤4×＝2. 设△F1MN的周长为L△F1MN， 又因为三角形内切圆的半径r满足 r＝＝≤＝. 所以△F1MN的内切圆面积的最大值为. 3．(2025·湖北重点中学联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上一点与右焦点F(2，0)的最短距离为. (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线x＝ty＋2与双曲线的右支交于A，B两点，与渐近线交于C，D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围； ②设S1，S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1＋S2的最大值． 解：(1)设双曲线－＝1的焦距为2c，且c＝2， 因为F(2，0)到直线bx－ay＝0的距离为＝， 故b＝，则a＝＝， 故双曲线的方程为－＝1. (2)如图，①设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立直线与双曲线的方程 消元得(t2－1)y2＋4ty＋2＝0， 则 因为直线与双曲线的右支交于A，B两点，故y1y2＝＜0，则－1 ... ...
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