第九章 第13练 证明、探索性问题 同步练习(含详解)2026届高中数学一轮复习

数学 第13练　证明、探索性问题（原卷版） 1.已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. 2.已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)． (1)证明：k<－； (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 3. (2025·新疆喀什模拟)已知双曲线E：x2－3y2＝3的左、右焦点分别为F1，F2，A是直线l：y＝－x(其中a是实半轴长，c是半焦距)上不同于原点O的一个动点，斜率为k1的直线AF1与双曲线E交于M，N两点，斜率为k2的直线AF2与双曲线E交于P，Q两点． (1)求＋的值； (2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为kOM，kON，kOP，kOQ，问是否存在点A，满足kOM＋kON＋kOP＋kOQ＝0？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 4. (2025·广西南宁模拟)椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过点P(a，b)的直线l与椭圆E交于M，N两点．当直线l过坐标原点O时，|MN|＝2. (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于点C，D.试探究D，C，M三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由． 5．(2025·陕西榆林模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过F2的直线与椭圆C交于M，N两点，且△MNF1的周长为8，△MF1F2的最大面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设b＞1，是否存在x轴上的定点P，使得△PMN的内心在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．(2025·广东深圳模拟)已知A是圆E：(x－)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－，0)，线段AF的垂直平分线交线段AE于点T. (1)求动点T的轨迹C的方程； (2)已知点Q(4，0)，过点P(1，0)的直线l与C交于M，N两点，求证：|MP|·|NQ|＝|MQ|·|NP|. 7．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在AB上；②PQ∥AB；③|AM|＝|BM|. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 8．(2024·山东聊城三模)已知圆A：(x＋1)2＋y2＝16和点B(1，0)，点P是圆上任意一点，线段PB的垂直平分线与线段PA相交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)点D在直线x＝4上运动，过点D的动直线l与曲线C相交于M，N两点． ①若线段MN上一点E满足＝，求证：当D的坐标为(4，1)时，点E在定直线上； ②过点M作x轴的垂线，垂足为G，设直线GN，GD的斜率分别为k1，k2，当直线l过点(1，0)时，是否存在实数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 第13练　证明、探索性问题（解析版） 1.已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. 解：(1)由题意，知椭圆的半焦距c＝且e＝＝， 所以a＝， 又b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)， 当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意； 当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－)， 即kx－y－k＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1， 解得k＝±1， 联立可得4x2－6x＋3＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， ... ...