新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期5月份月考数学试题 一、单选题 1．如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（ ） A．B．C． D． 2．已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（ ） A．1 B． C． D． 3．曲线在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（ ） A．或1 B．2或 C． D．1 7．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即，运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（ ） A． B． C． D． 10．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A．的极大值为 B．有且仅有2个零点 C．点是曲线的对称中心 D． 11．对于函数，下列说法正确的是（ ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 三、填空题 12．已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 13．若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 14．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若函数的单调递增区间为，求实数的值. 16．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若，且函数的极大值和极小值之和为18，求在区间上的最大值. 17．已知函数，. (1)证明：方程有唯一解； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 18．已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)，若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 19．定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． (1)若是上的“好函数”，求的取值范围． (2)（i）证明：是上的“好函数”． （ii）设，证明：． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B B C A A BD AD 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14． 15．（1）由题意，函数的定义域为， 当时，，则，由得， 由得；由得. 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 所以函数的最小值为. （2）由题意，， ①当时，在上恒成立，在上单调递增，不合题意； ②当时，由即得， 的单调递增区间为 ， 由已知得，所以. 16．（1）由题意得, 当时，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得或， 令，得， 故在和单调递增，在单调递减， 综上可得时，的单调递增区间为， 当时，的递增区间为，，递减区间为 （2）由（1）知，时，函数才有极值， ， ， 因此，解得， 因此， ，， ， 因此. 17．（1）由得， 因为，所以，所以在上单调递减， 又，所以函数只有一个零点， 即方程有唯一解，且为1； （2）， 则恒成立等价于恒成立，所以在上恒成立， 记，则，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故得， 即实数的取值范围为； （3）若有两个零点，等价于有两个解， 也等价于直线与函数有两个交点. 则，记，， 由反比例函数和对数函数的单调性易知在上单调递减，又， 所以当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增， 当时，，当时，，则， 作出函数的图象如下： 由图可知：直线与函数有两个交点等价于， 故实数的取值范围为. 18．（1）因为，所以， 所以， 所以所求切线方程为； （2）因为 ... ...
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