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2026届高中数学(通用版)一轮复习:第一章 第4课时 基本不等式(课件 学案 练习,共3份)
日期:2025-05-21
科目:数学
类型:高中试卷
查看:93次
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来源:二一课件通
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2026届
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不等式
第4课时 基本不等式 [考试要求] 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 1.基本不等式: (1)基本不等式成立的条件:_____. (2)等号成立的条件:当且仅当____时取等号. (3)其中,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 (1)x+y≥2,若xy等于定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值(简记:积定和最小). (2)xy≤,若x+y等于定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值 (简记:和定积最大). 提醒:利用基本不等式求最值应满足三个条件:“一正、二定、三相等”. [常用结论] 几个重要的不等式 当且仅当a=b时等号成立. 一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的. ( ) (2)若a>0,则a3+的最小值为2. ( ) (3)函数f (x)=sin x+,x∈(0,π)的最小值为4. ( ) (4)“x>0且y>0”是“≥2”的充要条件. ( ) 二、教材经典衍生 1.(人教A版必修第一册P45例2改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( ) A.80 B.77 C.81 D.82 _____ 2.(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2,则x+的最小值是( ) A.1 B.2 C.2 D.4 _____ 3.(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a,b∈R,则下列不等式成立的是( ) A.≥2 B.ab≤ C. _____ 4.(人教A版必修第一册P58复习参考题2T5改编)若x>0,y>0,且xy=x+y+3,则xy的取值范围是_____,x+y的取值范围是_____. _____ 考点一 直接用基本不等式求和或积的最值 [典例1] (1)(2025·湖北武汉模拟)已知正数a,b满足a+2b=1,则( ) A.ab≥ B.ab> C.0
0,y>0,且x+2y=1,则2x+4y的最小值是_____. 考点二 配凑法求最值 [典例2] (1)若x<,则函数f (x)=3x+1+有( ) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 (2)已知0<x<,则x的最大值为_____. [听课记录]_____ _____ 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一:mx+≥2(m>0,n>0,x>0),当且仅当x=时等号成立; (2)模型二:mx+=m(x-a)++ma≥2+ma(m>0,n>0,x>a),当且仅当x-a=时等号成立. 提醒:常用配凑手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等. [跟进训练] 2.(1)(2024·河北唐山一模)已知函数f =,则f 的最小值为( ) A.0 B.2 C.2 D.3 (2)(2025·湖南长沙模拟)若实数x>2y>0,则的最小值为_____,此时=_____. 考点三 常数代换法 [典例3] (2025·江西重点高中联考)已知x,y为正实数,且x+y=1,则的最小值为( ) A.2+1 B.2-1 C.2+5 D.2-5 [听课记录]_____ _____ ———1”的妙用 (1)乘“1”法是指凑出1,利用乘“1”后值不变这个性质,使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件,即积为定值.主要解决形如“已知x+y=t(t为非零常数),求的最值”的问题,先将转化为,再用基本不等式求最值. (2)常数“1”的代换,即把求解目标中的常数代数化,化为形如求“的最值”问题,进而可以使用基本不等式达到解题的目的. [跟进训练] 3.(1) ... ...
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