东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题高一数学 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若复数满足，则的虚部为（ ） A． B．1 C． D．i 2．已知向量 ，且则（ ） A． B． C． D． 3．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（ ） A． B． C．6 D．8 4．在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A． B． C． D． 6．将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 7．如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为.在棱长为2的正方体中，则（ ） A． B． C．4 D． 8．在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分，部分选对的得部分分．) 9．已知复数z满足：，则（ ） A． B．的虚部是3 C． D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限 10．如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．三棱锥外接球表面积为 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第14题第一空3分，第二空2分.把答案填在答题卡中的横线上．) 12．已知向量满足，，且，则与的夹角为 . 13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于 . 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 (其中为三角形面积，a，b，c为三角形的三边)． 在非直角中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若且，则面积的最大值是 ，此时外接圆的半径为 . 解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (13分)已知复数，其中． 设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量． 16．（15分）已知在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求； (2)若，且，求的周长． 17.（15分）如图，中，是的中点，与交于点. (1)用表示； (2)设，求的值； (3)若，求的最大值. 18.（17分）如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1) 求证：平面； (2) 求证：平面； (3) 求点D到平面的距离. （17分）在中，内角对应的边分别为，，，． (1)求； (2)若为线段内一点，且，求线段的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有 被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题（高一数学）参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C A B D B AC ABD AD 12． 13． 14. （13分） （1）， 2分 因为是纯虚数，所 ... ...
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