微专题11 最短路径问题（含答案）

微专题11 最短路径问题 1.[2024河南平顶山二模]如图1,在菱形ABCD中,对角线AC,BD 交于点 O,∠ACB=60°,AM= 点 P 沿 BD 从点 B匀速运动到点D.设点 P 的运动时间为x，PM+PN=y,图2是点 P 运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为 ( ) A.2 B. C. D.3 2.[2023 内蒙古通辽]如图,在扇形AOB 中,∠AOB=60°,OD 平分∠AOB 交AB于点 D,点 C 是半径OB 上一动点，若OA=1，则阴影部分周长的最小值为 ( ) 3.[2024 黑龙江绥化]如图,已知∠AOB=50°,点 P为∠AOB 内部一点，点M，点N分别为射线OA，射线 OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时,则∠MPN= . 4.[2024四川泸州校级模拟]如图，在直角坐标系中,A(-2,0),B(0,2),C是OB的中点,点D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形，P是CD上一个动点,过点P作PH⊥OA于H,Q 是点B关于点A 的对称点,则 BP+PH+HQ 的最小值为 5.[2024江苏扬州]如图,点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB=2，分别以AB、EF 为边在直线l同侧作正方形 ABCD、正方形EFGH,∠PMN=90°,直角边MP恒过点 C,直角边 MN恒过点 H. (1)如图1,若BE=10,EF=12,求点 M 与点 B之间的距离； (2)如图1,若BE=10,当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值； (3)如图2,若BF=22,当点E在点B、F之间运动时，点M 随之运动，连接CH，点O 是CH的中点,连接 HB,MO,则 2OM+HB 的最小值为 C 解析:如图,作点 N 关于 BD 的对称点N',连接MN',NN',PN',MN, ∵四边形 ABCD为菱形, ：点N'在 CD上，由对称可得BD垂直平分NN',∴ PN=PN', ∴PM+PN=PM+PN', :当M、P,N'三点共线时,PM+PN的值最小、为MN'的长， 四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=3, AC⊥BD. 在Rt△BCO 中,BO=BC·sin∠OCB=3× ∵∠MAN=∠BAD, ∴△AMN∽△ABD, ∴∠AMN=∠ABD,AMB=M/D= 即 ∴MN∥BD,MN= ∵AC⊥BD,NN'⊥BD, ∴NN'∥AC,∴△DNN'∽△DAC, 貝 ∵MN∥BD,NN'⊥BD, ∴MN⊥NN',即∠MNN'=90°, ∴在 Rt△MNN'中, ∴PM+PN的最小值为 ,即( 1A 解析:如图,作点 D 关于 OB 的对称点D',连接AD',CD',OD', 则CD=CD',OD=OD',∠DOB=∠BOD', ∵当A,C,D'三点共线时，AC+CD 的值最小，即阴影部分的周长最小，最小值为AD'的长+AD的长. ∵OD平分∠AOB,∠AOB=60°, ∴∠BOD'=30°,∴∠AOD'=90°,在 Rt△OAD'中,OD'=OD=OA=1,∴AD' 又AD的长 阴影部分周长的最小值为 3.80° 解析：作点 P 关于 OA 的对称点 E，连接OP,EP,EO,EM,如图, ∴ EM = MP,∠MPO = ∠OEM,∠EOM=∠MOP, 作P点关于 OB 的对称点 F,连接 NF,PF,OF,EF, ∴ PN = FN, ∠OPN = ∠OFN, ∠PON=∠NOF, ∴ PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF, ∴当E,M,N,F共线时,△PMN周长最小, 此 时 ∠OEM = ∠OEF, ∠OFN=∠OFE, 又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,∠AOB=∠MOP+∠PON=50°, ∴∠EOF=2∠AOB=100°, ∴在△EOF中,∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°, ∴ ∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°, ∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN, ∴∠MPO+∠OPN=80°, ∴∠MPN=∠MPO+∠OPN=80°. 4.6 解析：连接CH， ∵A(-2,0),B(0,2),∴OB=2,OA=2, ∵C是OB的中点,∴BC=OC=1, ∵∠PHO=∠COH=∠DCO=90°, ∴四边形 PHOC 是矩形, ∴PH=OC=BC=1, ∵PH⊥OA,BO⊥OA,∴PH∥BC, ∴四边形 PBCH是平行四边形， ∴BP=CH,∴BP+PH+HQ=CH+HQ+1,要使CH+HQ 的值最小,只需C,H,Q 三点共线即可， ∵点Q 是点 B关于点A 的对称点， ∴Q(-4,-2), 又∵点C(0,1), ∴ 根 据 勾 股 定 理 可 得 CQ = 此时,BP+PH+HQ=CH+HQ+PH=CQ+1=5+1=6, 即BP+PH+HQ 的最小值为6. 5.(1)4或6 (2)12.5 解析:(1)由题易得∠CBM=∠CMH=∠HEM=90°, ∴ ∠CMB +∠BCM = ∠CMB +∠HME=90°, ∴∠BCM=∠HME, ∴ △MCB∽△HME, ∵BC=AB=2,EH=EF=12,BE=10, BM=4或6, ∴点M 与点B之间的距离是4或6. (2)由(1)知 设EH=y,BM=x, ∵BE=10, ∴EM=10-x, ∴当x=5 ... ...