/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科 1．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4．其中正确的结论是（ ） A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB； ②由①可得∠BEP＝90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB＝135°所以∠EFB＝45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF，故②是错误的； ③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确； ④连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPDPD×BE，所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2，由此即可判定． 【解答】解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∵在△APD和△AEB中，， ∴△APD≌△AEB（SAS）；故①正确； 由△APD≌△AEB得，∠AEP＝∠APE＝45°，从而∠APD＝∠AEB＝135°， 所以∠BEP＝90°， 过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离， 在△AEP中，由勾股定理得PE， 在△BEP中，PB，PE，由勾股定理得：BE， ∵∠PAE＝∠PEB＝∠EFB＝90°，AE＝AP， ∴∠AEP＝45°， ∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°， ∴∠EBF＝45°， ∴EF＝BF， 在△EFB中，由勾股定理得：EF＝BF， 故②是错误的； 因为△APD≌△AEB，所以∠ADP＝∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的； 连接BD，则S△BPDPD×BE， 所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2， 所以S正方形ABCD＝2S△ABD＝4所以④是正确的； 综上可知，正确的有①③④， 故选：C． 2．如图，等边△ABC的边长为1，将边AC，BA，CB分别绕点A，B，C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AC1，BA1，CB1，连接A1B1，A1C1，B1C1.对△A1B1C1给出下面三个结论： ①对任意α都有△A1B1C1是等边三角形； ②存在唯一一点到点A1，B1，C1的距离相等； ③当α＝120°时，△A1B1C1的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】先证△BAA1≌△CBB1（SAS），再证△AA1C1≌△BB1A1≌△CC1B1，据此一一判断选项即可． 【解答】解：连接AA1、BB1、CC1， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∴BA1＝AC1， 在△BAA1和△CBB1中， ， ∴△BAA1≌△CBB1（SAS）， ∴AA1＝BB1，∠BAA1＝∠BCB1， 同理可得AA1＝BB1＝CC1，∠BAA1＝∠BCB1＝∠CAC1， ∴∠A1AC1＝∠B1BA1， 在△AA1C1和△BB1A1中， ， ∴△AA1C1≌△BB1A1（SAS）， 同理可证△AA1C1≌△BB1A1≌△CC1B1， ∴A1B1＝A1C1＝B1C1， 故△A1B1C1是等边三角形，故①对； ∵△A1B1C1是等边三角形， ∴△ABC外心O也为△A1B1C1外心， ∴存在一点到点A，C1的距离相等，故②对； 当α＝120°时，则A1、B、C共线， ∴A1B＝1，BC1＝2， 如图，过C1作C1G⊥A1B于点G， 则∠C1BG＝60°， ∴BG＝BC1 cos60°＝1，C1G＝BC1 sin60°， ∴A1G＝2， ∴A1C1， ∴，故③对， 故选：D． 3．如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧．交CB于点D，交CA于点E，连接DE；②以点B为圆心，以CD长为半径作弧，交BA于点F；③以点F为圆心，以DE的长为半径作弧，在△ABC内与前一条弧相交于点G；④连接BG并延长交AC于点H．若H恰好为AC的中点，则AC的长为（ ） A． B． C． D． 【分析】连接FG，先证明△BFG≌△CDE（SSS）得到∠ABH＝∠ACB，进一步证明△ABH∽△ACB得到，再由H是AC中点，得到AC＝2AH，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接FG， 由题意得BF＝BG＝CD＝CE，FG＝DE， ∴△NFG≌CDE（SSS）， 由作图即可得，∠ABH＝∠ACB， 又∵∠A＝∠A， ∴ ... ...
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