2026届高中数学（通用版）一轮复习：第三章　思维进阶课1　利用导数证明不等式（课件 学案 练习，共3份）

　利用导数证明不等式 【思维突破妙招】　构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数的单调性、极值、最值加以证明．常用方法如下： 移项构造 差函数法 证明不等式f (x)＞g(x)(或f (x)＜g(x))转化为证明f (x)－g(x)＞0(或f (x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f (x)－g(x) 分拆构造 双函数法 证明等式f (x)＞g(x)转化为证明＞g(x)max 放缩后构 造函数法 一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1(x＞0)，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln (x＋1)≤x(x＞－1) 技法一　移项构造法证明不等式 [典例1]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x． (1)讨论f (x)的单调性； (2)证明：当a＞0时，f (x)＞2ln a＋． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　一般地，待证不等式的两边含有同一个变量时，可以直接构造“左减右”(或“右减左”)的函数，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值进行证明． 提醒：对复杂的式子可以先进行变形，再移项构造函数进行证明． [跟进训练] 1．(教材经典)证明以下不等式： (1)ex≥x＋1； (2)ln x≤x－1； (3) ln x≥1－． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 技法二　分拆构造双函数法证明不等式 [典例2]　设函数f (x)＝aexln x＋，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2． (1)求a，b； (2)求证：f (x)>1． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　在同时含ln x与ex的不等式证明中，常采用把对数单独分离的方式，把待证不等式分离．如本例中若直接构造函数，求导运算会比较复杂，此时把指数与对数分离两边，构造两个函数，分别计算它们的最值，借助最值进行证明． [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f (x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf (x)－ex＋2ex≤0． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 技法三　放缩法 ... ...