2026届高中数学（通用版）一轮复习：第三章　思维进阶课2　利用导数解决恒(能)成立问（课件 学案 练习，共3份）

　利用导数解决恒(能)成立问题 【思维突破妙招】　利用导数解决恒(能)成立问题的思路：①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；④换元分离，简化运算．在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”．依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界． 技法一　单变量不等式恒成立问题 [典例1]　已知函数f (x)＝(a∈R)．若a≥0，不等式x2f (x)＋a≥2－e对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围． [四字解题] 读 想 算 思 x2f (x)＋a≥2－e对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围 恒成立问题的解法 函数最值法 求导研究有关函数的单调性，并求其最值 分类 讨论分离参数法 结合x的范围，计算的最值 转化 化归数形结合法 把原题转化为g(x)＝x ln x与h(x)＝a(x－1)＋(2－e)两图象间的关系，借助图象求解 借助图象分析 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类． [跟进训练] 1．(2024·安徽安庆二模节选)已知函数f (x)＝2ln x－x＋(m∈R)，若不等式f (x)≤0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 技法二　单变量不等式能成立问题 [典例2]　已知函数f (x)＝ex－x，若对任意x>0，f (x)>ax2＋1有解，求a的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　能成立问题一般是通过分离参数或移项作差构造函数来解决，能成立问题中的等价转化有以下几种形式： (1)存在x∈[a，b]，f (x)≥a成立 f (x)max≥a． (2)存在x∈[a，b]，f (x)≤a成立 f (x)min≤a． (3)存在x1∈[a，b]，对任意x2∈[a，b]，f (x1)≤g(x2)成立 f (x)min≤g(x)min． [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝x2ln x． (1)讨论f (x)的单调性； (2)若存在x>0，使得f (x)≤ax成立，求实数a的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 ... ...