2026届高中数学（通用版）一轮复习：第三章　思维进阶课4　极值点偏移问题（课件 学案 练习，共3份）

　极值点偏移问题 极值点偏移的判定定理 对于可导函数y＝f (x)在区间(a，b)上只有一个极大(小)值点x0，方程f (x)＝0的解分别为x1，x2，且a＜x1＜x2＜b． (1)若0＝f (x1)＜f (2x0－x2)，则＜(＞)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上的极大(小)值点x0右(左)偏； (2)若0＝f (x1)＞f (2x0－x2)，则＞(＜)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上的极大(小)值点x0左(右)偏． 【思维突破妙招】　证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： (1)证明x1＋x2＜2a(或x1＋x2＞2a)： ①构造函数g(x)＝f (x)－f (2a－x)，求导，确定函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的单调性； ②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f (x1)＝f (x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f (x1)－f (2a－x1)＝f (x2)－f (2a－x1)与零的大小关系； ③由函数y＝f (x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与2a－x1的大小关系，从而证明相应问题． (2)证明x1x2＜a2(或x1x2＞a2)(x1，x2都为正数)： ①构造函数g(x)＝f (x)－f，求导，确定函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的单调性； ②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f (x1)＝f (x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f (x1)－f＝f (x2)－f与零的大小关系； ③由函数y＝f (x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与的大小关系，从而证明相应问题． (3)应用对数平均不等式＜＜证明极值点偏移： ①由题中等式产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题． 技法　 对称化构造辅助函数 [典例]　已知函数f (x)＝xe－x． (1)求函数f (x)的单调区间和极值； (2)若x1≠x2且f (x1)＝f (x2)，求证：x1＋x2>2． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　极值点偏移问题的常用策略 首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式． [跟进训练] 1．(2022·全国甲卷节选)已知函数f (x)＝－ln x＋x－a．证明：若f (x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．已知函数f (x)＝ln x－ax2，若x1，x2是方程f (x)＝0的两个不等实根，求证：＞2e． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维进阶课4　极值点偏移问题 技法 典例　解：(1)f ′(x)＝e－x(1－x)， ... ...