专题2 期末复习题题组——勾股定理（原卷版+解析版）　2024—2025学年人教版数学八年级下册

专题2 期末复习题题组———勾股定理（30道） 类型一 与勾股定理有关的证明及计算 1 类型二 与勾股定理的逆定理有关的证明及计算 9 类型三 勾股定理的实际应用 17 类型一 与勾股定理有关的证明及计算 1．（2025春湛江校级期中）已知，如图，AD是△ABC在BC边上的高，AD＝12，BC＝21，BD＝5，求AC的长． 【解答】解：∵AD是△ABC在BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝12，BC＝21，BD＝5， ∴CD＝BC﹣BD＝21﹣5＝16， ∴AC20． 2．（2024秋项城市期末）在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c． （1）①若∠C为直角，则由勾股定理得a2+b2＝c2．若∠C为锐角，求证：a2+b2＞c2． ②若∠C为钝角，试判断a2+b2与c2的关系，并证明． （2）若a＝3，b＝4，且△ABC是钝角三角形，求第三边的长c的取值范围． 【解答】（1）①证明：过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示， 则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD． 在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2， 在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2， 整理得a2+b2＝c2+2aCD． ∵a＞0，CD＞0， ∴a2+b2＞c2， ②解：a2+b2＜c2，证明如下： 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2所示， 则BD＝BC+CD＝a+CD， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2， 整理得 a2+b2＝c2﹣2aCD， ∵a＞0，CD＞0， ∴a2+b2＜c2， （2）解：当∠C为钝角时，由（1）②得 ， 即5＜c＜7； 当∠B为钝角时，由（1）②得 ， 即． 综上所述，第三边的长c的取值范围为5＜c＜7或 ． 3．（2025春西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC延长线上的点，连接AD． （1）若AC＝13，AB＝12，AD＝15．求CD的长； （2）若AC平分∠BAD，BC＝9，CD＝15，直接写出AB的长． 【解答】解：（1）在△ABC中，AC＝13，AB＝12，∴BC5， 在△ABD中，AD＝15，AB＝12， ∴BD9， ∴CD＝BD﹣BC＝4； （2）过点C作CE⊥AD于E， ∵∠ABC＝90°，AC平分∠BAD， ∴CE＝BC＝9， 在△CDE中，CD＝15，CE＝9， ∴DE12， 在Rt△ABC和Rt△AEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL）， ∴AB＝AE， ∴AD＝AB+12， 在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2， ∴AB2+242＝（AB+12）2， 解得AB＝18． 4．（2025春石楼县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交边AC于点D，求AD的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交边AC于点D， ∴CD＝BC＝12， 由勾股定理得：， ∴AD＝AC﹣CD＝13﹣12＝1． 5．（2025春路北区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.4，BC＝1.8． （1）求AB的长； （2）求AB边上高线h的长． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得， ； （2）∵△ABC的面积， ∴， 解得，h＝1.44． 6．（2024秋鄞州区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点． （1）求证：∠DCE＝∠ADF； （2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长． 【解答】（1）证明：连结DE，如图， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵CE是AB边上的中线， ∴E是AB边上的中点， ∴AB＝2DE， ∵AB＝2CD， ∴CD＝DE， ∵点F是CE中点， ∴DF⊥EC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠FDC+∠DCF＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠FDC+∠ADF＝90°， ∴∠DCE＝∠ADF； （2）解：∵∠BAC＝90°， 在直角三角形ACE中，由勾股定理得：， ∵点F是CE中点， ∴CF＝5， ∵∠ADB＝90°，E是AB边上的中点， ∴DE＝AE＝6， ∴CD＝DE＝6， ∵∠DFC＝90°， 在直角三角形CDF中，由勾股定理得：． 7．（2025春南昌期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，作AD⊥AB交BC于点 ... ...