2024-2025学年江西省宜春市丰城九中日新班高一（下）期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模( ) A. B. C. D. 3.已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“，平行”是“，不相交”的( ) A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知直线与圆：相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为( ) A. B. C. D. 5.已知，则( ) A. B. C. D. 6.如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为( ) A. B. C. D. 7.已知，，，为坐标原点，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为( ) A. B. C. D. 8.已知点是双曲线：上的动点，，分别是双曲线的左、右焦点为坐标原点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图是函数的部分图象，下列说法正确的是( ) A. 函数的周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 10.关于空间向量，以下说法正确的是( ) A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. 点关于平面对称的点的坐标是 11.设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则( ) A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已用，，则在方向上的投影向量为_____． 13.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，上顶点为，且内切圆的半径为，则椭圆的方程为_____． 14.在正方体中，为的中点，为底面上一动点，与底面所成的角为，若，且该正方体的外接球的体积为，则动点的轨迹长度为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在平面四边形中，，为线段的中点，，． 若，求的面积； 若，求． 16.本小题分 已知抛物线：的焦点为． 求的方程； 若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 17.本小题分 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，． 求证：平面平面； 若异面直线和所成角为，求点到平面的距离． 18.本小题分 已知椭圆：的焦点和短轴顶点构成边长为的正方形． 求椭圆的标准方程和离心率； 过点的动直线与椭圆有两个交点，在轴上是否存在点使得恒成立若存在，求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 19.本小题分 如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足，，，，平面． 证明：平面； 求平面与平面夹角的余弦值； 在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：过点作，垂足为， 由，得， 在四边形中，由，得， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 所以的面积为； 连接， 因为，， 所以， 在中，由，得， 所以为等边三角形，， ，， 在中，由余弦定理， 可得 ． 16.解：易知抛物线的焦点为， 所以， 解得， 则抛物线的方程为； 易知直线斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，， 因为，， 所以 ． 则为定值，定值为． 17.证明：取的中点，连接， ，， ，，且， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，， ，即， 平面，平面，， ... ...
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