2024-2025学年重庆市南岸区南坪中学高一（下）5月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数，则复数共轭复数的虚部为( ) A. B. C. D. 2.已知，，，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 3.钝角的内角、、所对的边分别为、、已知，，，则( ) A. B. C. D. 或 4.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是( ) A. 圆柱的侧面积为 B. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 C. 圆锥的侧面积为 D. 圆柱的侧面积与球表面积相等 5.如果角的终边经过点，那么( ) A. B. C. D. 6.的内角，，的对边分别为，，若的面积为，则( ) A. B. C. D. 7.在中，，，是的中点，与交于点，若，则( ) A. B. C. D. 8.在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点在底面上的射影为的中点若，为线段上的一个动点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设，为两个平面，、为两条直线，且下述四个命题为真命题的有( ) A. 若，则且 B. 若，则平行于平面内的无数条直线 C. 若且，则 D. 若在平面外，则与平行或异面 10.下列命题中正确的是( ) A. 函数且的图象恒过定点 B. 命题：“，”的否定是“，” C. 函数既是偶函数，又在上单调递增 D. 若函数，则 11.已知锐角，角，，所对应的边分别为，，，下列命题正确的是( ) A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则的取值范围 D. 若，则的取值范围 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则 _____用表示 13.四面体中，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____． 14.如图所示，有一块三角形的空地，，千米，千米，则 _____；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为，，，其中，为边上的点，若使，则的最小值为_____千米． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知是一元二次方程的一个复数根． 求的值； 若为纯虚数，求． 16.本小题分 由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点． 求证：平面； 求证：平面平面； 设平面与底面的交线为，求证：． 17.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，已知． 若的面积为，求的值； 设，，且，求的值． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点． 求证：平面； 求证：平面； 求三棱锥的体积． 19.本小题分 如图，中，，，点在线段上，为等边三角形． 若，，求线段的长度； 若，求线段的最大值； 若平分，求与内切圆半径之比的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由题意，，即，解得，， 所以； 由题意，且，解得，， 则． 16.证明：取的中点，连接，， 是直四棱柱， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面． 且，且， 且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面， 由得平面， ，、平面， 平面平面． 由得， 平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ． 17.解：因为，所以 则，即， 又，所以； 因为，所以，即，所以， 因为，，， 所以， ， 则，， 所以． 18.解：证明：如图，设，连接， 易知为中点，又为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 证明：由点为线段的中点，，故AE， 由平面，平面，故， 又底面是正方形，故AD， 又、平面，， 故CD平面，又平面， 故CD，又、平面，， 故AE平面； 因为点为线段的中点， 所以． 19.解：因为， 所以， 即， 所以， 所以； 由可知， 所以， 设，，且为等边三角形， 所以， 即， 故， ... ...
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