黑龙江省大庆实验中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试题（图片版，含答案）

大庆实验中学 2024 级高一下学期期中考试 数学学科答案 一、单选题 1--5 题：ACCAA 6--8 题：DCC 二、多选题 9--12 题：AB BC ACD ACD 三、填空题 1 3 8 2 16 π 13--16 题： 2 4 4 3 16 题【详解】连接 BC,EF ，BC与 y轴相交于点G， 六边形 ABCDEF绕 y轴旋转半周所得的几何体的体积，可看成由直角梯形 ABGO绕 y轴旋 转一周的几何体体积的二倍， 由 ABGO绕 y轴旋转一周的几何体是上下底面半径分别为 1 和 3，高为 1 的圆台， 1 其体积为V1 3 π 9π π 9π 1 13π ， 3 OB 2，弓形 BC旋转所得几何体为高为 2 1的球冠， 以下利用祖暅原理证明球冠体积公式： 下图为半径为 R的半球和底面半径和高都为 R的圆柱，在圆柱内部切去一个和圆柱等底等高 的倒立圆锥. 用与底面平行，距离为 h的平面截两个几何体， 2 2 则与半球的截面为半径为 R2 h2 的圆，面积为 S1 R h π， 2 2 截图（2）几何体所得截面为圆环，面积为 S2 πR πh ， 因为 S1 = S2恒成立，所以截面和底面之间的几何体体积相等， 3 所以截面截半球所得球冠的体积为V 2πR πR2h 1 h2π 1 h π 3 3 3 2R 3 3R2h h3 ， 即球冠的高为 h ，则 h R h，即 h R h ，代入上式整理可得： V 1 πh 2 3R h ， 3 4 2 5 π 由球冠体积公式得其体积为V 12 π 2 2 1 3 2 2 1 ，3 3 2 V V 2 13 4 2 5 8 2 16 所以，所求几何体体积为 1 2 π= π . 3 3 3 8 2 16 故答案为： π 3 四、解答题 17.（1）因为 sin A sinC 2sin B，所以 a c 2b． 因为3sin A 7sinC，所以3a 7c， 因为b 5，所以a 7， c 3， 2 2 cos A b c a 2 52 32 72 1 由余弦定理得 ， 2bc 2 5 3 2 因为 A 0, π 2π，所以 A 3 ． AD 1 1 （2）根据题意可得 AB AC， 2 2 22 1 1 1 2 1 2 则 AD AB AC AB AB 1 AC AC 2 2 4 2 4 1 9 1 3 5 1 1 25 19 ，4 2 2 4 4 所以 AD 19 ，即VABC 19 的中线 AD的长为 ． 2 2 2 18 1 4 x．（ ）根据题意，因为圆锥的表面积 πx2 πxy 4π， y ， x x y， 2 x 4 x ，解得0 < x < 2， x 4 x2 即 y ， x 0, 2 . x （2）圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥高为 h， 则 y 2x， tan π h 3， 3 x h 3x， 4 x21 y 4 x 2 由（ ）知 ，即 2x ， x x x 2解得 ,h 3x 2 ， 3 1 V πx2h 1 π 4 8π 2 m3． 3 3 3 9 bcos π 19．（1）因为 C2 3ccosB ，由正弦定理可得 sin BsinC 3 cos BsinC ， 因为 B、C 0, π ，则 sinC 0，所以， sin B 3 cos B 0 ， π 则有 tan B 3 ，故 B . 3 0 π C π π （2）因为VABC 2为锐角三角形，则 ，所以， C ， 0 A 2π π C 6 2 3 2 1 所以， tanC 3 ，则0 3， 3 tanC a c 由正弦定理可得 ， sin A sinC 4sin C π 所以， a c sin A 3 2sinC 2 3 cosC 2 2 3 2,8 ， sinC sinC sinC tanC 即 a的取值范围是 2,8 . 20．（1）因为M AB， N AD， AB 平面 ABD， AD 平面 ABD， 所以MN 平面 ABD， 因为 E CB， F CD，CB 平面CBD，CD 平面 ABD， 所以 EF 平面CBD， 由于直线MN与直线 EF相交于点O， 即O MN，O 平面 ABD，O EF，O 平面CBD， 又有平面 ABD 平面CBD BD，则O BD， 所以 B，D，O三点共线. （2）连接 BD，作 BD的中点G，并连接GN，GE，如图所示： 在△ABD中，点N，G分别是 AD和 BD的中点，且 AB 6， 1 所以GN∥AB，且GN AB 3， 2 在△CBD中，点 E，G分别是 BC和 BD的中点，且CD 4， 所以GE∥CD GE 1 ，且 CD 2， 2 则异面直线 AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成角，即 EGN或 EGN的补角， GE 2 GN 2 EN 2EN 2 cos EGN 2 2 32 22 3 又 ，由余弦定理得： 0 ， 2GE GN 2 2 3 4 3 故异面直线 AB与DC所成的角的余弦值 . 4 21.（1）延长 AG交BC与 F ，由G是正三角形 ABC的中心，得 F 为 BC的中点， 2 则 AG AF ， 3 1 1 1 由 AF AB AC 1 ， AD mAB,AE nAC，得 AG AD AE， 2 2 3m 3 ... ...