山西大学附属中学2024-2025学年第二学期高一期中数学试卷（含答案）

山大附中2024～2025学年第二学期期中考试 高一年级数学试题 一．选择题：1-8为单选 共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9-11为多选，共3小题，每小题6分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B B C A D D AD ACD BC 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分） 12． 13. 14. （1）151.5 （2）100 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题13分) 设，，向量，，，且，． (1)求；(2)求向量与夹角的余弦值． 【详解】（1）向量，，，且，， 可得且，..................................2分 解得，..................................4分 即，，则，..................................6分 则；..................................7分 （2）因为，，..................................9分 所以，，..................................11分 设向量与夹角为， 则， 即向量与夹角余弦值为．..................................13分 16.（1）计算：； （2）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足求的值； 【详解】（1） ．..................................7分 （2）令且，则，..................................8分 所以，则，可得，..................................13分 所以，则；..................................15分 17.(本小题15分) 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm. (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm，..................................1分 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以...................................3分 设圆柱底面圆的半径为， 则，..................................6分 圆柱体积...................................8分 所以剩下的几何体的体积...................................9分 （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体，..................................11分 它的外接球的球半径满足，即...................................14分 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.................................15分 18. (本小题17分) 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【详解】（1）和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理可得， 又因为，所以；...................................3分 若，即，且，可得，， 所以为直角三角形....................................5分 （2）因为，则，解得，.................................6分 由余弦定理可得， 即，可得，....................................9分 所以.....................................10分 （3）因为 .....................................13分 因为，且三角形是锐角三角形，则，解得，....................................15分 则，可得，....................................16分 则， 所以的取值范围为.....................................17分 19. (本小题17分) “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点 ... ...