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课件网) 第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 课时1 圆周角定理及其推论1 1.圆周角的定义 2.圆周角和圆心角的关系 3.圆周角和弧的关系. （重点、难点） 学习目标 新课导入 什么是圆心角？它具有哪些性质？ 新课讲解 图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ A O B C 顶点在圆上，并且两 边都和圆相交的角叫 圆周角．如∠ACB． 新课讲解 圆周角的特征： ①角的顶点在圆上； ②角的两边都与圆相交，这两个特征是判定圆周角 不可缺少的条件． 新课讲解 练一练 下列四个图中，∠x为圆周角的是( ) C 新课讲解 如图, ∠ AOB = 80°. (1)请你画出几个 所对的圆周角，这几 个圆周角有什么关系？与同伴进行交流. (2 )这些圆周角与圆心角∠ AOB的大小有什 么关系？你是 怎样发现的？与同伴进行交流. 在图中，改变∠ AOB的度数，你得到的结论还成立吗？ 新课讲解 圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 新课讲解 1. 圆周角定理的证明： 已知：如图, ∠ C是 所对的圆 周角， ∠ AOB是 所对的圆心角. 求证： ∠ C= ∠ AOB 分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论： 新课讲解 (1)圆心O在∠ C的一条边上，如图 (1); (2)圆心O在∠ C的内部，如图 (2); (3)圆心O在∠ C的外部，如图 (3). 在三种位置关系中，我们选择(1)给出证明，其他情况可以 转化为(1)的情况进行证明. (1)圆心O在∠ C的一条边上，如图 (1). ∵ ∠ AOB是△AOC的外角，∴ ∠ AOB = ∠ A + ∠ C. ∵ OA = OC，∴ ∠ A = ∠ C. ∴ ∠ AOB = 2 ∠ C, 即 ∠ C = ∠ AOB. 请你完成图 (2)和图 (3)两种情况的证明. 证明： 新课讲解 例 如图，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之间的度数关系． 解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如 所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC， 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周 角是∠ADC. 分析： 新课讲解 ∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°. ∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°， ∴∠ADC＝ ∠α＝105°. ∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°， ∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC与∠ADC相等． 又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°， ∴∠ABC和∠ADC互补． 解： 新课讲解 在如图的射门游戏中，当球员在B ， D，E处射门 时，所 形成的三个张角∠ ABC， ∠ ADC， ∠ AEC的 大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ 新课讲解 练一练 如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？ 解：∠BDC＝∠BAC，如图， 相等的角还有∠ADB＝∠ACB， ∠ACD＝∠ABD， ∠CAD＝∠CBD， ∠1＝∠2，∠3＝∠4. 课堂小结 (1)一个概念（圆周角）； (2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的 圆心角的一半； (3)一个推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相 等. 相等的圆周角所对的弧相等。 当堂小练 1.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB＝_____． 25° 当堂小练 2.如图，在⊙O中，AB＝BC，点D在⊙O上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝( ) A．45° B．50° C．55° D．60° B 拓展与延伸 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为( ) A．2 B．4 C．4 D．8 C A B C D 1.下列各圆中，∠A是圆周角的是( ) A 课后练习 2.(北师9下P79、人教9上P86)如图，当圆心O分别在圆周角∠ABC内部、外部时，求证：∠ABC＝AOC.(选一个证明) 证明：当圆心O在圆周角∠ABC内部时， 由知识点2可得∠ABD＝AOD，∠CBD＝COD， ∴∠ABD＋∠CBD＝AOD＋COD，∴∠ABC＝AOC. 当圆心O在圆周角∠ABC外部时， 由 ... ...
