广东省广州市第六中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试题（含详解）

广州市第六中学2024级高一下学期数学期中考试 参考答案与评分标准 一、客观题答案和解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B A D C D D C AB ACD BCD 12. 13. 14. 1．【详解】由，可得，所以的虚部是， 2．【详解】由角的终边经过点，则 3．【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 4．【详解】由正弦定理，得， 所以，故， 所以或，即或，故为直角三角形或等腰三角形． 5．【详解】对于选项A，若，，则与平行、相交或异面，A错误； 对于选项B，若，，，则与可能相交，平行，异面，B错误； 对于选项C，因为，，，所以且，所以，C正确； 对于选项D，若，，则与可能相交，如三棱柱的三个侧面，D错误． 6．【详解】已知，，所以.因为， 所以.所以，即. 已知，，所以.因为，所以. 所以，即. 因为，根据两角和的正切公式可得： 7．【详解】判断充分性，由正弦定理可得. 已知，即（因为），由于，所以. 当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么可能有两解，所以由不能推出有且仅有一解，充分性不成立. 判断必要性，若有且仅有一解，有两种情况： 情况一：且，由，可得，因为，所以. 情况二：且或，当时，；当时，. 所以由有且仅有一解不能推出，必要性不成立. 则“”是“有且仅有一解”的既不充分也不必要条件. 8．【详解】连接，不妨设，棱台的高设为，所以 ．因为，分别是棱，的中点，则，．又因为平面∥平面，可知几何体是三棱台， 则． 所以分割之后较大部分的体积为， 所以较小部分与较大部分的体积之比为． 9．【详解】对于A，因为，则点的轨迹是两个圆心为原点，半径分别为的圆形成的圆环，则点的集合所构成的图形的面积为，A正确； 对于B，因为是实系数方程的一个根， 所以，， 所以，解得，则，B正确. 对于C，由，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，圆上的点对应复数有无数个，C错误； 对于D，是一个纯虚数，则，，，所以，D错误； 10．【详解】对于A项，存在点为与的交点，使得，理由如下：若点为与的交点，则三点共线，由正方体性质得，，所以四边形是平行四边形，所以，因为为中点，所以，所以，即，A正确； 对于B项，如图，连接，H为侧面中心，则平面与平面和平面分别交于线，若存在G点使平面平面，则，又，则四边形为平行四边形，即，，此时G应在延长线上，B错误； 对于C项，随着G移动但G到面的距离始终不变即，故是定值，C正确； 对于D项，如图，当为靠近C的四等分点时，平面截正方体的截面为正六边形，D正确。 11．【详解】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于A，，A错误； 对于B，，则以为邻边的正方形对角线长是的倍， 可得，B正确； 对于C，在上的投影向量为，C正确； 对于D，设的夹角为，则， 其中为定值，只需最大即可，， 延长交延长线于，当在线段上运动时，最大， 易知为等腰直角三角形，且， 则在中，， 在等腰三角形中，，则，D正确 12．【详解】由是等边三角形，则，于是 13．【详解】由题意得： ，故： ， 即向量 与的夹角为 14.【解析】显然，令，则， （1）当时，，由正弦曲线图像可知，两个最值点对应t的值为和，零点对应t的值为和，于是，解得 （2）当时，，由正弦曲线图像可知，两个最值点对应t的值为和，零点对应t的值为和，于是，解得 综上，的取值范围是 二、解答题和评分标准 15．已知平面向量，，，． (1)若，求x的值；(2)若，求的值．(3)若与的夹角是锐角，求x的取值范围． 【详解】（1）若，则， 2分 整理得，解得或． 3分 （2）若，则有，整理得，解得或，5分 当时，，，则，得； 6分 当时，，，则，得； 7分 所以，的值为或5． 8分 （3）因与的夹角是锐角，则，即，得， 10分 又当与共线时，有，得，不合题意，则， ... ...