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课件网) 一个菱形的两条对角线的长分别为4 cm和8 cm，求它的边长． 1. 解：如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=8 cm,BD=4 cm,则OA=4 cm,OB=2 cm,∠AOB=90°. 根据勾股定理，得 AB= = cm. ∴该菱形的边长为 cm. 如图，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, 且OA=OB=OC=OD= AB，则四边形ABCD是正方形吗？ 2. 解：由OA=OB= AB, 可知OA2+OB2=AB2,则∠AOB=90°. ∵OA=OB=OC=OD, ∴AC,BD互相垂直平分且相等， ∴四边形ABCD是正方形. 如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？ 3. 解：不一定是菱形，因为也可能是矩形. 一个菱形的周长是200 cm，一条对角线长60 cm，求： （1）另一条对角线的长度； （2）菱形的面积． 4. 解：如图,菱形BACD中,对角线AC,BD相交于O，AC=60 cm,周长为200 cm. （1）由题意,得AC⊥BD,AB= ×200= 50(cm),OA=OC= AC= 30 cm,OB=OD. ∴在Rt△AOB中,OB= =40 cm. ∴另一条对角线BD=2OB=80 cm. （2）S菱形ABCD= AC BD= ×60×80=2400(cm2 ). 证明：如果四边形两条对角线垂直且相等，那么以它的四边中点为顶点可组成一个正方形. 5. 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,AC=BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点. 求证：四边形EFPQ为正方形. 证明：∵E,Q分别为AB,AD的中点， ∴EQ BD. 同理,得FP BD,EF AC. ∴EQ FP.∴四边形EFPQ为平行四边形. ∵AC=BD,∴EF=EQ. ∴四边形EFPQ为菱形. ∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ. ∴∠QEF=90°. ∴四边形EFPQ是正方形. 如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上 一点，且AC=EC，求∠DAE的度数． 6. 解：∵AC=EC,∴∠E=∠CAE. ∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BE. ∴∠DAE=∠E=∠CAE. ∵∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°， ∴∠DAE= ∠DAC=22.5°. （1）如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形吗？为什么？ 7. 解：（1）这个菱形是正方形，理由如下： 因为一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，所以这个菱形相邻内角相等.因为菱形的相邻内角互补，所以这个菱形的内角都为90°.所以这个菱形是正方形. 解：这个四边形是正方形，理由如下： 因为四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，所以这个四边形各邻边相等.所以这个四边形为菱形. 由（1），这个四边形是正方形. （2）如果一个四边形绕对角线的交点旋转 90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形吗？为什么？ 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．求证： 四边形AEDF是菱形． 8. 证明：如图，∵AD平分∠BAC, ∴∠1=∠2.∵DE∥AC,∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3.∴AE=DE. ∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形. 又AE=DE,∴四边形AEDF是菱形. 已知：△ABC的两条高分别为 BE，CF，点M为BC的中点．求证：ME=MF． 9. 证明：如图， ∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线， ∴ME= BC.同理得MF= BC. ∴ME=MF. 已知正方形的对角线的长为l，求这个正方形的周长和面积． 10. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l．求正方形ABCD的周长和面积. 解：依题意得AB=BC,∠ABC=90°. 在Rt△ABC中,AB +BC =AC ,即2AB =l , ∴AB= . ∴正方形ABCD的周长为4AB=4× = l, 正方形ABCD的面积为AB2=( l )2 = l2. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P．求证：四边形CODP是菱形． 11. 证明：∵CP∥BD,DP∥AC, ∴四边形CODP是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD. ∵OC= AC,OD= BD,∴OC=OD. ∴四边形CODP是菱形. 已知 ... ...
