圆 专项突破练习 1．【问题探究】 （1）如图1，是的外接圆，，若的长为，则的半径为_____； （2）如图2，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、在轴上，顶点A、在轴上，点，．点为轴上的动点，当取最小值时，求点的坐标； 【问题解决】 （3）如图3，某城区有一块矩形空地，其中，，城建部门计划利用该空地建造一个居民户外活动广场，已知点为矩形内部一动点，满足，为对角线上的动点，过点作的垂线，垂足为，规划要求将区域设置成绿化区，区域设置成建设区，区域和四边形设置成观赏区，用于种植各类鲜花，区域设置成人工湖，为安全起见，现要沿修建一条笔直的隔离带，沿铺设一条笔直的步行景观道，已知修建隔离带的造价为元，铺设景观道的造价为1000元，求修建隔离带和景观道的最低总造价．（隔离带、景观道的宽度均忽略不计） 2．如图，是正方形的外接圆． (1)如图1，若是上的一点，Q是上的一点，且． ①求证：． ②若，求的直径． (2)如图2，若点P在上，过点作，求证：． 3．如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接． (1)若，则_____； (2)如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线； (3)如图3，连接，若于点，且，求的值． 4．【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则_____． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 5．在中，，，点D为的中点．将绕点D逆时针旋转得到，旋转角为，过点作（以为直径）的切线，切点为F． 【知识技能】 （1）如图1，若旋转角，求证：； 【数学理解】 （2）如图2，若旋转角，求点到的距离； 【拓展探索】 （3）在旋转过程中，当直线时，求旋转角的度数． 6．如图1，以的直角边为直径作，交斜边于点D，E是的中点，连接，． (1)求证：是的切线． (2)如图2，点F在的延长线上，点M在线段上，于点N，交于点G．求证：． (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 7．定义：中，是它的中线，点在上，若，则称是的“陪位中线”． (1)如图，在中，，是的中点，，垂足为，求证：是的“陪位中线”； (2)内接于，是的中点，连接． 如图，点在上，连接交于点，连接，，若是的“陪位中线”，请从以下的结论中，选择一个正确的结论并给予证明； ⅰ）； ⅱ）是的“陪位中线”； ⅲ）； 如图，过点作的切线交延长线于点，连接交于点，请判断是否为的“陪位中线”，并说明理由． 8．如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接， ①若，，求的长度； ②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点， 求证：． 9．已知，四边形内接于，对角线交于H，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作直径交于点F，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在上截取，于点Q，交于L，若，，求的长． 10．综合与实践 【课本再现】 （1）如图1，的和的平分线相交于点G． ①若，则_____； ②求证：． 【数学思考】 （2）如图2，中的平分线与其外角的平分线交于点O，猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【问题解决】 （3）如图3，菱形的顶点在上，与相交于点为的中点，若，求的值． 《圆压轴题专项突破练习-2025年中考数学二轮专题》参考答案 1．（1）4；（2）点的坐标为；（3）元 【分析】（1）如图：在上取一点D，连接，根据圆的内接四边形的性质可得，再根据圆周角 ... ...
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