6．3.2 二项式系数的性质 一、 单项选择题 1 在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2 若(－)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项为( ) A. 540 B. －162 C. 162 D. －540 3 (2024东莞期末)如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为( ) A. B. C. D. 4 已知(x－)n(n∈N*)的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中含x项的系数为( ) A. 560 B. 480 C. 126 D. 35 5 (2024陕西模拟)已知(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则＋＋…＋等于( ) A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 6 在二项式(＋)n的展开式中，前3项的系数成等差数列，则该展开式中二项式系数最大的项是( ) A. 第2项 B. 第3项 C. 第4项 D. 第5项 二、 多项选择题 7 (2024泉州期中)设函数f(x，y)＝(1＋my)x(m>0，y>0)，则下列说法中正确的是( ) A. 若x∈N*，则f(x，y)的展开式中常数项为1 B. 当m＝3时，f(7，y)的展开式中二项式系数最大的项为945y2 C. 若f(4，y)＝a0＋a1y＋a2y2＋a3y3＋a4y4，且a3＝32，则m＝2 D. 当m＝2时，若f(4，y)＝a0＋a1y＋a2y2＋a3y3＋a4y4，则ai＝81 8 设常数a∈R，n∈N*，关于二项式(1＋a)n的展开式，下列结论中正确的是( ) A. 若a<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a>n C. 若a＝－2，n＝10，则第7项的系数最大 D. 若a＝－，n＝7，则所有奇数项的系数和为239 三、 填空题 9 设(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a3＋a4＝0，则n＝_____，a5＝_____． 10 (2024南京期末)(x－1)4的展开式中x3的系数是_____． 11 若n是正整数，则7n＋7n-1C＋7n-2C＋…＋7C除以9的余数是_____． 四、 解答题 12 (2024宿迁期末)在(n≥3，n∈N*)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． (1) 求证：展开式中不存在常数项； (2) 求展开式中所有的有理项． 13 (2024江苏期中)已知f(x)＝(2x＋5)n展开式的各二项式系数和为512，且(2x＋5)n＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋an(x＋2)n. (1) 求a1＋a2＋a3＋…＋an； (2) 求a2的值； (3) 求证：f(16)－1能被6整除． 6．3.2 二项式系数的性质 1. C 在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大，则＋1＝4，解得n＝6. 2. D 由题意，得＝(－2)n＝64，解得n＝6，所以的展开式的通项为Tk＋1＝C()6-k·＝(－3)k·Cx3-k，令3－k＝0，得k＝3，所以展开式中的常数项为T4＝(－3)3C＝－27×20＝－540. 3. D 由题意可知杨辉三角第20行共有21个数，其中从左往右第4个数为C＝＝1 140<2 024，从左往右第5个数为C＝＝4 845>2 024，则由组合数的对称性，得杨辉三角第20行的21个数里有21－4×2＝13(个)数大于2 024，所以从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2 024的概率为. 4. A 由题意可知C＝C，解得n＝7，所以的展开式的通项为Tk＋1＝C·x7-k·＝(－2)k·C·.令7－k＝1，解得k＝4，所以该展开式中x的系数为(－2)4·C＝560. 5. B 因为(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(2＋1)n＝243，解得n＝5，令x＝0，得a0＝1；令x＝，得a0＋＋＋…＋＝＝32，所以＋＋…＋＝31. 6. D 二项式的展开式的通项为C()n－k·＝Ckx.因为前三项的系数成等差数列，所以2C＝C＋C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)，所以该展开式共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大． 7. ACD 对于A，(1＋my)x的展开式的通项为C(my)r＝Cmryr，当r＝0时，Cm0＝1，故A正确；对于B，当m＝ ... ...
