4.2.1　等差数列的概念 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

4.2.1　等差数列的概念(1) 1. 通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2. 能根据等差数列的定义判断一个数列是否为等差数列． 3. 了解等差中项的概念． 4. 探索并掌握等差数列的通项公式，会用通项公式解决一些简单的问题． 活动一 理解等差数列的概念 我们知道，数列是一种特殊的函数，在函数中，我们研究了一些有用的函数模型，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等．类似地，在数列中我们也要研究一些具有特殊变化规律的数列． 请看下面几个问题中的数列． 1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81. 2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48. 3. 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25．0，24.4，23.8，23.2，22.6. 4. 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为 ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，…. 思考1 通过运算，这些数列有什么共同的特点？ 等差数列的定义： 递推公式表示： 例1　判断下列数列是否为等差数列： (1) 1，1，1，1，1； (2) 4，7，10，13，16； (3) －3，－2，－1，1，2，3. 思考2 如何判断一个数列是否为等差数列？应注意概念中的哪些关键字？ 思考3 若数列{an}是等差数列，公差为d，则 (1) an，an－1，…，a2，a1是等差数列吗？ (2) a1，a3，a5，…，a2n－1，…是等差数列吗？ (3) ak，ak＋m，ak＋2m，…是等差数列吗？(k，m∈N*) (4) λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…是等差数列吗？（λ，μ为常数） 活动二 了解等差中项的概念 例2　写出下列等差数列中的未知项： (1) 3，a，5，则a＝　　　　； (2) 3，b，c，9，则b＝　　　　，c＝　　　　． 等差中项的定义： 若a，A，b成等差数列，则称A为a，b的等差中项，此时 A＝. 例3　（2023全国单元测试）已知数列{an}满足2an＋(n－1)an－1＝nan＋a1(n∈N*，n≥2)，证明：数列{an}为等差数列． 证明数列{an}为等差数列的方法： (1) 定义法：an－an－1＝d（d为常数，n∈N*，n≥2）； (2) 中项法：an＝(n∈N*，n≥2). 活动三　掌握等差数列的通项公式　 思考4 设数列{an}是一个首项为a1，公差为d的等差数列，你能写出它的第n项an吗？ 据其定义，可得： a2－a1＝　　　　， 即a2＝a1＋　　　　； a3－a2＝　　　　， 即a3＝a2＋　　　　＝a1＋　　　　； a4－a3＝　　　　， 即a4＝a3＋　　　　＝a1＋　　　　； …… 由此可归纳出等差数列的通项公式： 叠加法，归纳法． 思考5 等差数列的通项公式有什么特点？它与哪一类函数有关？ 活动四 掌握等差数列通项公式的简单应用　　 例4　(1) 已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项； (2) 求等差数列8，5，2，…的第20项． 例5　－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 1. （2024张家界期末）35是等差数列3，5，7，9，…的(　　) A. 第16项 B. 第17项 C. 第18项 D. 第19项 2. 已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，2a＋1，a＋7，则此数列的第四项为(　　) A. 12 B. 13 C. 10 D. 15 3. （多选）已知数列{an}为等差数列，则下列说法中正确的是(　　) A. an＋1＝an＋d（d为常数） B. 数列{－an}是等差数列 C. 数列是等差数列 D. an＋1是an与an＋2的等差中项 4. （2024上海期末）在数列{an}中，a1＝－10，且2an＋1－2an＝1(n∈N*)，则a51＝　　　　． 5. 在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，求 ... ...