4．2.2　等差数列的前n项和公式 同步学案（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

4．2.2　等差数列的前n项和公式(1) 1. 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2. 通过对公式的探索和发现，提升观察、联想、归纳类比等能力． 活动一 探求等差数列的前n项和公式 据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋…＋100＝？ 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： (1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050. 高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…①前100项的和的问题． 思考1 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能用高斯的方法求1＋2＋3＋4＋…＋100＋101吗？ 思考2 你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？ 思考3 我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦．能否设法避免分类讨论？ 活动二　掌握公式的应用———求基本量(a1，d，n，an，Sn)　 例1　已知数列{an}是等差数列． (1) 若a1＝7，a50＝101，求S50； (2) 若a1＝2，a2＝，求S10； (3) 若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n. 例2　已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定． (1) 已知等差数列{an}的前5项的和为25，第8项等于15，求第21项； (2) 已知在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n的值． 活动三　探求等差数列前n项和公式的特征并应用其解决问题　 例3　(1) 已知数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，求数列{an}的前n项和Sn； (2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？ 思考4 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝pn2＋qn＋r，其中p，q，r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？ 1. 在等差数列{an}中，若a3＝5，a7＝1，则S6的值为(　　) A. 60 B. 57 C. 30 D. 27 2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n的值为(　　) A. 17 B. 15 C. 13 D. 11 3. （多选）（2024银川二中期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a1<0.若a10＋a15＝a12 ，则下列命题中正确的是(　　) A. 数列{an}是递增数列 B. a13是数列{an}中的最小项 C. S12和S13是{Sn}中的最小项 D. 满足Sn<0的n的最大值为25 4. （2024上海阶段练习）已知{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则S5＝　　　　Ｗ． 5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝－62，S6＝－75，求： (1) 数列{an}的通项公式； (2) 数列{|an|}的前n项和Tn. 4．2.2　等差数列的前n项和公式(2) 1. 能选取合适的等差数列的前n项和公式解决问题． 2. 探求等差数列前n项和性质并能运用它们解决问题． 活动一 灵活运用等差数列前n项和公式 例1　在等差数列{an}中， (1) 已知a3＝1，a5＝11，求an和S8； (2) 已知a2＋a7＋a12＝24，求S13； (3) 已知前4项和为25，最后4项和为63，前n项和为286，求项数n； (4) 已知Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，求Sm＋n. 在等差数列{an}的五个变量中，a1，n，d，an，Sn，可知三求二．若已知an，优先选用Sn＝；若已知d，优先选用Sn＝na1＋d，同时在解题过程中注意等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq的应用． 活动二　掌握等差数列前n项和的最值问题　 例2　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 求Sn最值的常用方法： (1) 函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方法或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n是正整数． (2) 邻项变号法 ... ...