6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 1. 理解直线的方向向量和平面的法向量． 2. 会用待定系数法求平面的法向量． 活动一 理解直线的方向向量和平面的法向量的概念 1. 直线的方向向量与平面的法向量 (1) 定义： 直线的 方向向量 直线l上的非零向量e以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量 平面的 法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫作平面α的法向量 (2) 用向量确定直线的位置： 条件 直线l上一点A 直线的方向向量 性质 如果在直线l上取＝a，那么对于直线 l上任意一点P，一定存在实数t，使得 ＝t 作用 定位置 点A和向量a可以确定直线l的位置 定点 可以具体表示出直线l上的任意一点 (3) 用向量确定平面的位置： ①通过平面α内的一个定点O和两个向量a和b来确定： 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 性质 对于平面α上任意一点P，存在有序实数组(x，y)，使得＝xa＋yb ②通过平面α内的一个定点A和法向量来确定： 平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量a，a叫作平面α的法向量 确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是确定的 活动二　会求平面的法向量　 2. 平面的法向量及其求法 在空间直角坐标系中，求平面的法向量的一般步骤： (1) 设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2) 找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； (3) 根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4) 解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． 例1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的法向量． 例2　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 变式　若例2中条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量． 例3　在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的一个法向量为n＝(A，B，C)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式． 1. 在空间直角坐标系中，平面可以用三元一次方程来表示． 2. 方程 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0的几何意义是：经过点P(x0，y0，z0)，且法向量为n＝(A，B，C)的平面． 例4　已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，＝(2，－1，4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，1). (1) 求证：是平面ABCD的法向量； (2) 求平行四边形ABCD的面积． 1. 已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z 等于(　　) A. 0 B. 1 C. D. 3 2. (教材改编)在空间直角坐标系中，已知点P(0，3，－1)，向量u＝(2，－1，1)，则过点P且以u为法向量的平面方程为(　　) A. 2x－y＋z＝－4 B. x＋2y－z＝7 C. x－y＋2z＝－5 D. －x＋2y＋z＝5 3. (多选)在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论中正确的是(　　) A. 直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2) B. 直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C. 平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D. 平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) 4. (教材改编)已知n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A(0，－3，－1)，B(k，2k，2)在平面α内，则k＝_____． 5. (2024河北月考)已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，求平面SCD和平面SAB的法向量． 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 【活动方案】 例1　设正方体的棱长为1，以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)， 所以＝(1，1，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1). 因为·＝1×(－1)＋ ... ...