6.3.2　空间线面关系的判定 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6．3.2　空间线面关系的判定(1) 1. 能用向量语言描述线线、线面、面面的平行关系． 2. 能用向量方法判定、证明空间线面的平行关系． 活动一　用空间向量处理平行关系　 1. 知识回顾 (1) 直线的方向向量与平面的法向量： (2) 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定和性质： 2. 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 平行 l与m a∥b l与α a⊥μ α与β μ∥v 活动二　用空间向量证明线线平行 例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS. 要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 活动三　用空间向量证明线面平行　 例2　如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE. 利用空间向量证明线面平行的方法： (1) 利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行； (2) 利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行； (3) 利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行． 活动四 利用空间向量证明面面平行 例3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面EFBD. 利用空间向量证明面面平行的方法： (1) 转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明； (2) 通过证明两个平面的法向量平行证明． 1. 已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　) A. (4，2，－2) B. (2，0，4) C. (2，－1，－5) D. (4，－2，2) 2. (2024扬州月考)已知u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的一个方向向量，n＝(1，1，3)是平面α的一个法向量．若l∥α，则2b－4a的值为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. (多选)(2023荆州阶段练习)已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列说法中错误的是(　　) A. 若直线l的一个方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的一个方向向量为b＝(2，－2，4)，则l∥m B. 若直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l∥α C. 若平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β D. 若平面α经过三个点A(1，0，－1), B(0，－1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的一个法向量，则u＋t＝1 4. 已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0，10)，D(8，4，a)，如果四边形ABCD为梯形，那么实数a的值为_____． 5. (2024江苏月考)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．求证：BM∥平面ADEF. 6．3.2　空间线面关系的判定(2) 1. 能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系． 2. 能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理． 3. 掌握用向量方法判定、证明有关空间线面垂直关系的方法步骤． 活动一 探究用空间向量证明空间线面关系 ... ...