6.3.3　空间角的计算 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6．3.3　空间角的计算(1) 1. 会用向量法求线线、线面的所成角． 2. 能正确理解向量的夹角与所求的线线角、线面角的关系． 活动一 空间线线角，线面角的向量求法 线线角和线面角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解． 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝ (0，] 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝ 活动二 利用空间向量求两条异面直线所成的角 例1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E1，F1分别在A1B1，C1D1上，且E1B1＝A1B1，D1F1＝D1C1，求BE1与DF1所成角的余弦值． 方法一：(几何法) 方法二：(向量法———基底) 方法三：(向量法———坐标) 异面直线所成角的余弦值： 设l1与l2为异面直线，a1与a2分别为l1，l2的方向向量，设l1，l2所成的角为θ，则有cos θ＝|cos 〈a1，a2〉|＝. 在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，求SC与AB所成角的余弦值． 　活动三 利用空间向量求直线和平面所成的角 　例2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E1在D1C1上，且D1E1＝D1C1，试求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值． 直线与平面所成角的正弦值： 设a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，设直线l与平面α所成的角为θ，则有cos (90°－θ)＝|cos 〈a，n〉|＝，即sin θ＝. (2024青岛开学考试)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，求直线PG与底面ABCD所成角的正弦值． 1. (教材改编)已知平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，直线l的一个方向向量为m＝(1，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 2. (教材改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝CC1＝4，M是A1B1的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若⊥，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 3. (多选)(2023南通开学考试)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为1，若直线BD1与BC1所成的角为30°，则下列结论中正确的是(　　) A. 直线BD1与直线A1B1所成的角为60° B. 直线BD1与直线B1C所成的角为90° C. 直线BD1与平面AA1D1D所成的角为30° D. 直线BD1与平面AA1B1B所成的角为60° 4. (2024河南期末)在空间直角坐标系Oxyz中，向量a＝(1，－1，m)，b＝(1，3，0)，分别为异面直线l1，l2的方向向量，若l1，l2所成角的余弦值为，则m＝_____． 5. (2024洛阳期末)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1＝3，AB＝2，Q为侧棱AA1上的点，且AQ＝2，M，N分别为AB，A1C1的中点． (1) 求异面直线MN与QC1所成角的余弦值； (2) 求直线MN与平面AA1B1B所成角的正弦值． 6．3.3　空间角的计算(2) 1. 能用向量方法解决二面角的计算问题． 2. 能正确理解向量的夹角与二面角的大小的关系． 活动一 了解用空间向量求二面角的方法 1. 复习巩固 (1) 二面角的定义及求解方法： (2) 平面的法向量的定义： 2. 用空间向量求二面角的大小： 向量求法 范围 二面角 设二面角α-l-β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos 〈n1，n2〉|＝ [0，π] 活动二　求二面角的大小　 例1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1BDC1的余弦值． 方法一： 方法二： 例2　(2024福建期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E是PB的中点. (1) 求证：平面EAC⊥平面PBC； (2) 若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 例3　如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，D是侧棱CC1 ... ...