6.3.4　空间距离的计算 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6．3.4　空间距离的计算 能用向量方法解决点线、点面、线面、面面的距离的计算问题． 活动一 背景引入 问题：如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处修建一个蔬菜存储库．如何在公路上选择一个点，修一条公路到达点A，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？ 思考1 空间中包括哪些距离？求解空间距离常用的方法有哪些？ 思考2 能否用所学的空间向量来解决有关于这些距离的问题呢？ 活动二　点到平面的距离　 1. 点到平面的距离 已知P是平面α外的一点，PO⊥α，A是平面α内的任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离为d＝. 1. 如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P 到平面α的距离求解． 2. 如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 例1　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点B到平面B1CD1的距离． 求点到平面的距离的主要方法： (1) 作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； (2) 在三棱锥中用等体积法求解； (3) 向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，M是平面外一点，MA为过点A的斜线段). 在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点． (1) 求证：B1C∥平面A1BD； (2) 求直线B1C到平面A1BD的距离． 活动三　点到直线的距离　 2. 点到直线的距离 已知P是直线l外的一点，A是直线l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝. 思考3 能不能借助直线l的方向向量来求点到直线的距离？ 3. 两条平行直线之间的距离 思考4 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 例2　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是BC和CD的中点． (1) 求证：EF∥B1D1； (2) 求两条平行线EF和B1D1间的距离． 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤： (1) 确定法向量； (2) 选择参考向量； (3) 确定参考向量到法向量的投影向量； (4) 求投影向量的长度． 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC到平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系． 1. 已知点O(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，2)，则点O到直线BC的距离为(　　) A. B. C. D. 2. (2023临沂三中期末)已知平面α的一个法向量n＝(1，－2，－2)，点A(－1，3，0)在平面α内，则平面外一点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A. 10 B. 3 C. D. 3. (多选)(教材改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法中正确的是(　　) A. 点A到直线BE的距离是 B. 点O到平面ABC1D1的距离为 C. 平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D. 点P到直线AB的距离为 4. (教材改编)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，D，E，N分别为PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2AB＝4，则直线MN到平面BDE的距离为_____． 5. 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．3.4　空间距离的计算 【活动方案】 问题：过点A修一条垂直于该条公路的路线理论上最短． 思考1：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离；传统方法都是把这些距离归结到平面内解决． 思考2：略 例1　以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)， 所以＝(1，1，0)，＝(1 ... ...