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课件网) 第一章 数与式 微专题 规律探索，合情推理（必考） 类型1 数式规律类 课前小练1 （1）有一列数：1，2，3，4，5，…，依此规律，第n（n≥1）个数是 ； （2）有一列数：1，3，5，7，9，…，依此规律，第n（n≥1）个数是 ； （3）有一列数：1，4，9，16，…，依此规律，第n（n≥1）个数是 ； （4）有一列数：0，3，8，15，…，依此规律，第n（n≥1）个数是 ； n 2n-1 n2 n2-1 （5）有一列数：5，9，13，17，…，依此规律，第n（n≥1）个数是 ； （6）有一列数：2，6，12，20，30，…，依此规律，第n（n≥1）个数是 ； （7）有一列数：-2，2，-2，2，-2，…，依此规律，第n（n≥1）个数是 ； （8）有一列数：1，2，4，8，16，…，依此规律，第n（n≥1）个数是 . 4n+1 n（n+1） （-1）n·2 2n-1 例1 （2020·安徽第17题）观察以下等式： 第1个等式：×=2-； 第2个等式：×=2-； 第3个等式：×=2-； 第4个等式：×=2-； 第5个等式：×=2-； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明. 【答案】（2）证明：左边==2-=右边， ∴等式成立. 例2 （2024·安徽第18题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2-y2（x，y均为自然数）”的问题. （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： N 奇数 4的倍数 表示结果 1=12-02 3=22-12 5=32-22 7=42-32 9=52-42 … 4=22-02 8=32-12 12=42-22 16=52-32 20=62-42 … 一般结论 2n-1=n2-（n-1）2 4n= 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）24=（ ）2-（ ）2； （ⅱ）4n= ； 7 5 （n+1）2-（n-1）2 （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n-2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2-y2（x，y均为自然数）.师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n-2=x2-y2，其中x，y均为自然数. 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中k，m均为自然数，则x2-y2=（2k）2-（2m）2=4（k2-m2）为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数. ②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均为自然数，则x2-y2=（2k+1）2-（2m+1）2= 为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数. ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2-y2为奇数， 而4n-2是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容. 4（k2-m2+k-m） 解答数式规律类的合情推理的关键是根据等式的特征，找出每个位置上数字的变化特点，写出用n表示的等式，最后通过计算证明猜想的正确性. 类型2 图形规律类 课前小练2 （1）图形个数固定累加型 如图所示，图1由4根火柴棒组成，图2由7根火柴棒组成，图3由10根火柴棒组成，图4由13根火柴棒组成，以此类推.图5由 根火柴棒组成，图n由 根火柴棒组成. 图1 图2 图3 图4 16 （3n+1） （2）图形个数递增累加型 如图所示，所有图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，则第6个图形中圆的个数是 . 图1 图2 图3 35 （3）图形个数为上述两种变化之和型 如图所示，所有图形都是由同样大小的“ ”和“ ”按一定的规律组成，则第5个图案中“ ”的个数是 ， “ ”的个数是 ，第n个图案中，“ ”和“ ”的个数之和是 .（用含n的代数式表示） 15 15 例3 （2021·安徽第18题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖 ... ...
