（小专题冲刺训练）圆压轴题（含解析）-2025年中考数学专题突破

（小专题冲刺训练）圆压轴题-2025年中考数学专题突破 1．如图所示，已知半径为，是直径，过点作于，交弦于点，连接，若， (1)证明； (2)设是射线上的动点，将绕着点顺时针旋转得到． ①当时，探究直线与的位置关系； ②在旋转过程中，是否存在点落在线段上且的情形？若存在，求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 2．如图，是直径，点为劣弧中点，弦、相交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长度． 3．如图，是的直径，、是的弦，且，垂足为，连接并延长至，使得． (1)求证：是的切线； (2)若的直径，，求线段的长． 4．如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，点在上，且． (1)求证：是半圆的切线； (2)若，，，求半圆的半径． 5．如图，已知是的直径，都是的弦，于点G，交于点F，且，连结，分别交于点H，K． (1)求证：． (2)若，，求的直径． (3)若点F在半径上，，请直接写出的值． 6． 如图， 是的直径， 是上异于点A，B的一动点， 连接， ， 过点A 作射线．为射线上一点，连接． 【初步探究】 （1） 若，求的长； 【深入探究】若在点 P 的运动过程中，始终有 （2） 如图1， 若，求证：直线与相切； （3） 如图2， 连接， 设，求m的取值范围． 7．顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角是弦切角．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程． 证明：如图是的直径，为的切线，在上取一点，连接． ，． 是的直径，． 为的切线，． ．， 即弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数． 根据以上材料解决下面的问题： 如图2，已知：是上的点，过点作，交的延长线于点．求证：是的切线． 8．如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，取的中点，连接，交于点． (1)与的位置关系是_____； (2)当点在线段上运动时，求证：； (3)若，直接写出点到直线的距离的最小值． 9．如图，在中，，以为直径作交斜边于点E．为的切线，连接并延长交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．如图，内接于⊙，过点作平行于交的延长线于点，． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，求的长． 11．如图，内接于， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求弦所对的弧长； (3)在（2）的条件下，点C在优弧上运动，是否存在点C，使点O到弦的距离为？若有，请直接写出的长；若没有，请说明理由． 12．如图1，为的直径，是上异于A，B的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若，则 ． 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （2）如图2，当与相切时，求的长度； （3）求长度的取值范围． 13．如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 14．我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 下面我们尝试证明切割线定理． 已知：如图1，是外一点，与相切于点，交于点，（即是的割线），连接，． 求证：． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，.， 是的直径， …… (1)根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程． (2)图2中，若的半径为，，，求的长． 15．如图所示的平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，以为圆心的交轴于，两点，交轴于、两点．直线与交于、两点，其中交点在弧上．过点作，垂 ... ...