2025年中考数学三轮冲刺专题：圆的切线证明与长度计算综合练习（含解析）

2025年中考数学三轮冲刺专题： 圆的切线证明与长度计算综合练习 1．如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 2．如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求线段的长． 3．如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)若，求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 4．如图，在中，，为的外接圆，为的直径，连接、，过作交延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长度． 5．如图，在中，以为直径的过的中点，交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 6．如图，在中，为直径，点在上，连接．点在的延长线上，点为上不与重合的任意一点，满足． (1)求证：为的切线； (2)若点为的中点，的直径为13，，求的长． 7．如图，是的直径，点在的延长线上，，是上的两点，，. (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； 8．如图，已知是的直径，为的内接三角形，为延长线上一点，连接于点，交于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 9．如图，的弦是的中点，连接并延长交于点D，交于于点F，过点D作，与的延长线交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 10．如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，，求的长． 11．如图，内接于⊙，过点作平行于交的延长线于点，． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，求的长． 12．如图，内接于，是的直径，过点O作交于点D，垂足为M．连接、，与交于点E，在的延长线上取一点N，使． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为5，，求的长． 13．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且． (1)求证：直线是的切线： (2)若，，求的长， 14．如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 15．如图，是的直径，点C，E在上，，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F，连接，平分． (1)求证：是的切线； (2)若E为的中点，连接，的半径为2，求的长． 《2025年中考数学三轮冲刺专题：圆的切线证明与长度计算综合练习》参考答案 1．(1)证明见解析 (2)的长为，的长为 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可； （2）求出，长，可得出，设，则，可得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， 直线是的切线； （2）解：∵， ∴， 在中，， ， ， ， 在中， ， ... ...