浙江省2025年中考数学压轴题专项训练：二次函数（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 浙江省2025年中考数学压轴题专项训练 二次函数 解析卷 1．（2025 台州一模）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若﹣2≤x≤5． ①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值； ②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系． 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①根据当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝﹣4a求解即可； ②由称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间可知当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），则a1＞0，a2＜0分别求出最小值即可求解． 【解答】解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a， ∴对称轴为直线； （2）①∵a＞0， ∴抛物选开口向上， ∵﹣2＜﹣1＜5， ∴当 x＝﹣1时，该函数最小值为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a， ∵该函数的最小值为﹣8， ∴﹣4a＝﹣8， ∴a＝2； ②∵抛物线对称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间，且两个函数的最小值相等， 当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意）， ∴a1＞0，a2＜0， 当a1＞0时，， 当a2＜0时，， ∵两个函数的最小值相等， ∴﹣4a1＝32a2，即a1＝﹣8a2． 2．（2025 温岭市二模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）． （1）①求b，c的关系式； ②求pc的最大值； （2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围． 【分析】（1）①依据题意，直接把A（1，2）代入y＝x2+bx+c整理得b+c＝1； ②依据题意，把 （2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b，可得p＝b+5，则pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣（b+2）2+9≤9．即可作答； （2）依据题意，先得出抛物线y＝x2+bx+c上的开口向上，因为对于任何的，（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立，所以得点B为抛物线的顶点，对称轴为直线x＝2，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【解答】解：（1）①由题意，把A（1，2）代入y＝x2+bx+c， ∴1+b+c＝2． ∴b+c＝1． ②由（1）得：b+c＝1， ∴c＝1﹣b． 把（2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b， ∴p＝4+2b+1﹣b＝b+5． ∴pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣b2﹣4b+5＝﹣（b+2）2+9≤9． ∴pc的最大值为9． （2）∵抛物线为y＝x2+bx+c， ∴抛物线开口向上． ∵对于任何的实数t都有（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立， ∴点B（2，p）必为抛物线的最低点，即点B为抛物线的顶点． ∴对称轴为直线x＝2，当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大． ∵y1≥y2，点C（t，y1）AD（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点， ∴， ∴t≤1． 3．（2025 瓯海区二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）． （1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式． （2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值． 【分析】（1）由题意得该二次函数的图象的对称轴为直线x，则可得，求出a的值，即可得出答案． （2）根据Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，可得结论． （3）由题意得，二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，当a＜0时，可得当x＝0时，y＝﹣3，即a﹣1＝﹣3，求出a的值即可；当0≤a≤3，可得当x＝a时，y＝﹣3，即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，求出a的值即可；当a＞3时，可得当x＝3时，y＝﹣3，即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，求出a的值，进而可得答案． 【解答】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线x， ∴， 解得a＝2， ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1． （2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4 ... ...