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课件网) 第五章 四边形 微专题“十字架”结构的解读 （安徽中考链接：2020年第23题，2017年第23题） （学用见P117~119） 类型1 正方形“十字架”结构 【引例】（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.求证：AF=BE. 【简析】（1）由垂直得角相等，进而证明△DAF≌△ABE，得AF=BE. 图1 （2）如图2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.求证：MP=NQ. （2）如图，过点A作AF∥MP，交CD于点F，过点B作BE∥NQ，交AD于点E. 由平行四边形的判定与性质得AF=MP，BE=NQ， 结合（1）中结论知AF=BE，得MP=NQ. 图2 由引例可归纳得以下核心思路：端点在正方形边上的两条线段：垂直 相等. 例1 （2024·淮北一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，连接CM. （1）求证：AF=DE； 【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB. ∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°， ∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠AED=∠BFA， 在△DAE和△ABF中， ∴△DAE≌△ABF（AAS），∴AF=DE. （2）当点E运动到AB的中点时，求CM的长. （2）由（1）知△ABF≌△DAE， ∴BF=AE=BE=2. 解法1：如图1，过点F作FN⊥CM于点N. 由翻折可知FM=BF=2，∠AFB=∠AFM. ∵FM=FC，FN⊥CM，∴MN=NC，∠MFN=∠CFN， ∴（∠BFM+∠CFM）=∠AFM+∠MFN=∠AFN=90°， ∴∠AFB=90°-∠NFC=∠FCN，∴tan ∠AFB=tan ∠FCN，∴=2. 设NC=a，则FN=2a，∴FC=a=2， ∴a=，∴CM=2NC=. 图1 解法2：如图2，连接BM，交AF于点O. 由翻折可得FM=BF=2，AM=AB=4，∠AMF=∠B=90°， ∴∠BAM+∠BFM=180°，AF垂直平分BM，即BM=2BO. ∵AF==2， ∴BO=，∴BM=. 易证△ABM∽△FCM， ∴，∴CM=. 图2 （1）由正方形“十字架”结构易证△DAE≌△ABF，即可证明AF=DE. （2）解法1：过点F作FN⊥CM于点N，证得∠AFB=∠FCN，利用tan ∠AFB=tan ∠FCN=2转化即可求解； 解法2：连接BM，利用△ABM∽△FCM得比例式即可求解. 类型2 矩形“十字架”结构 【引例】（1）如图1，在矩形ABCD中，CD=b，AD=a，在AB边上有一点E.若DE⊥AC，则DE与AC之间有什么数量关系？ （2）如图2，在矩形ABCD中，CD=b，AD=a，在AB边上有一点E，CD边上有一点F.若EF⊥AC，则EF与AC之间有什么数量关系？ （3）如图3，在矩形ABCD中，CD=b，AD=a，E，F分别是AB，CD边上的点，M，N分别是AD，BC边上的点.若EF⊥MN，则EF与MN之间有什么数量关系？ 图1 图2 图3 【简析】（1）由垂直得角相等，进而证明△EDA∽△ACD，得. （2）过点F作FG⊥AB于点G，证明△EFG∽△ACD，得. （3）过点N作NH⊥AD于点H，过点F作FG⊥AB于点G，证明△EFG∽△MNH，得. 由引例可归纳得以下核心思路：端点在矩形边上的两条线段：垂直 与矩形邻边成比例. 例2 【探究证明】 （1）某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，请补充完整探究过程. 如图1，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：. 图1 【答案】（1）如图1，过点D作DM∥GH交BC于点M，过点C作CN∥EF交AB于点N. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∴∠DCN+∠BCN=90°， ∴四边形DGHM，EFCN是平行四边形， ∴DM=GH，EF=CN. ∵EF⊥GH，∴DM⊥CN， ∴∠DCN+∠CDM=90°， ∴∠CDM=∠BCN， ∴△CBN∽△DCM，∴，∴. 图1 【结论应用】 （2）如图2，在满足（1）的条件下，AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上.若，则的值为 . 图2 【联系拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边 ... ...
