2024-2025 学年广东省东莞市翰林高级中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2i+1.已知复数 = 1+i (i 为虚数单位)，则复数 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知直线 1， 2，平面 ， 1// 2， 1// ，那么 2与平面 的关系是( ) A. 2// B. 2 ⊥ C. 2// 或 2 D. 2与 相交 3.下列叙述中正确的是( ) A.已知向量 ， ，且 // ，则 与 的方向相同或相反 B.若| | = | |，则 = C.若 // ， // ，则 // D. 对任一非零向量 ， 是一个单位向量 4.已知在“斜二测”画法下， 的直观图是一个边长为 4 的正三角形，则 的面积为( ) A. 6 B. 8 6 C. 16 6 D. 4 3 5.下列四个正方体中， ， ， 为所在棱的中点， ， ， 为正方体的三个顶点，则能得出平面 //平面 的是( ) A. B. C. D. 6.已知 1 ， 2 是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( ) A. = 0 ， = 1 2 B. = 3 1 3 2 ， = 1 2 C. = 1 2 2 ， = 1 + 2 2 D. = 1 2 2 ， = 2 1 4 2 第 1页，共 7页 7 2π.已知某圆锥的侧面积为 4π，其侧面展开图是一个圆心角为 3 的扇形，则该圆锥的底面半径为( ) A. 33 B. 2 3 C. 3 D. 4 33 3 8.已知复数 1 = 2 + i 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，若复平面内满足 1 = + 的点 的集合为图形 ，则 围成的面积为( ) A. π B. 16π C. 25π D. 81π 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量 = (1, 2), = (1,3)，则下列结论正确的是( ) A. = (0, 5) B. | + | = 5 C.向量 与 的夹角为4 D.若 在 1 3上的投影向量为 2 , 2 10.对于 ，有如下判断，其中正确的判断是( ) A.若sin2 + sin2 < sin2 ， 是钝角三角形 B.若 > ，则 sin > sin C.若 = 8, = 10, = 60°，则符合条件的 有两个 D.在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积 11.在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1中，下列说法正确的是( ) A. 1 ⊥ B.直线 1与平面 1 1 所成的角为 30° C. 16 2三棱锥 1 1 的体积为 3 D. 是 1 1的中点，点 是侧面 1 1内的动点．若 //平面 1 ，则 的最大值为 4 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.化简 + = 13.已知复数 在复平面内对应的点在射线 = 2 ( ≥ 0)上，且| | = 5，则复数 的虚部为 ． 14.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 的铁球，并注入水，使水 面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是 ． 第 2页，共 7页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 已知向量 = (1,2)， = ( 3,2)． (1)若 + 2 与 + 垂直，求实数 的值； (2)若 + 2 与 2 4 的夹角为钝角，求实数 的取值范围． 16.(本小题 15 分) 在 3中，角 , , 的对边分别为 , , ，若 sin = 3 cos ． (1)求角 的大小； (2)若 = 4, + = 6，求 的面积． 17.(本小题 15 分) 已知复数 = 2 1 + ( 1)i( ∈ ) (1)若复数 为纯虚数，求实数 的值； (2)已知 3 + 2i 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，其中 ， ∈ R，求 + 的值． 18.(本小题 17 分) 已知四棱锥 中， ⊥底面 ， /\ !/ ， = = 1，∠ = 120°， = 3，∠ = 90°． (1)求证： ⊥平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角的正弦值． 19.(本小题 17 分) 常用测量距离的方式有 3 种．设 1, 1 , 2, 2 ，定义欧几里得距离 ( , ) = 2 21 2 + 1 2 ， 定义曼哈顿距离 ( , ) = 1 2 + 1 2 ，定义余弦距离 ( , ) = 1 cos( , )，其中 cos( , ) = cos , ( 为坐标原点)． (1)若 (1,2), (2,1) ... ...
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