2024-2025 学年江苏省无锡市玉祁高级中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 满足(1 ) = (其中 为虚数单位)，则| | =( ) A. 1 B. 22 2 C. 1 D. 2 2.设 与 是两个不共线向量，且向量 + 与 2 共线，则 =( ) A. 0 B. 12 C. 2 D. 1 2 3.如图，在 中，设 = ， = ，若点 在 上，且 = 2 ，则 =( ) A. 2 B. 2 + C. 1 + D. 1 3 3 3 3 4 π.若圆锥的母线长为 1，其侧面展开图的面积为2，则这个圆锥的体积为( ) A. 324 π B. 3 12 π C. 3 6 π D. 3 3 π 5.设有两条不同的直线 ， 和两个不同的平面 ， ，则下列命题正确的是( ) A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， // ，则 // C.若 // ， // ，则 // D.若 // ， ，则 // 6.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为 ，测量小组选 取与塔底 在同一水平面内的两个测量点 和 ，现测得∠ = 105°，∠ = 45°， = 45m，在点 处测得塔顶 的仰角为 30°，则塔高 为( ) A. 15 6m B. 15 22 m C. 45 6m D. 45 2 2 m 7.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 2sin = sin( )，则角 的最大值是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”(汉唐之间出现的十部古算书)中非常重要的一 第 1页，共 8页 部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵” 1 1 1的所有 顶点都在球 的球面上，且 = = 1.若球 的表面积为 4π，则这个三棱柱的表面积是( ) A. 2 + 2 2 B. 2 2 C. 3 + 2 2 D. 3 + 2 3 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量 = (1,2), = ( 2,2), = (4, )，则下列说法正确的是( ) A. 的相反向量是 B.若 + ⊥ ，则 = 2 C. 在 1 1上的投影向量为 , D.若 + 2 2 // ，则 = 1 10.已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，下面四个结论正确的是( ) A.若 cos = cos ，则 为等腰三角形 B.在锐角 中，不等式 sin > cos 恒成立 C. π若 = 3， = 2 3，且 有两解，则 的取值范围是 3,2 3 D.若∠ = 120°，∠ 的平分线交 于点 ， = 1，则 4 + 的最小值为 9 11.如图，在正四棱锥 中， = = 2， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则( ) A. // B.平面 //平面 C. 2三棱锥 的体积为3 D.四棱锥 的外接球的表面积为 8π 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.如下图， ′ ′ ′是 用“斜二测画法”画出的直观图，其中 ′ ′ = ′ ′ = 1， ′ ′ = 3，2 那么 的周长是 ． 第 2页，共 8页 13.已知向量 , ，且 = 1, = 2 2, 2 = 2 5，则向量 与 的夹角为 ． 14.已知圆锥底面圆的直径为 2，高为 3，在该圆锥内放置一个棱长为 的正四面体，并且正四面体在该几 何体内可以任意转动，则 的最大值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 已知复数 1 = + 4i, 2 = 4 + 3i, i 为虚数单位，其中 是实数． (1) 若 1 是实数，求 的值；2 (2)若复数 1 2在复平面内对应的点在第二象限，求 的取值范围． 16.(本小题 15 分) 在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , .已知 sin2 = 3sin ． (1)求 ； (2)若 = 4，且 的面积为 2 3，求 的周长． 17.(本小题 15 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为梯形，其中 // ，且 = 2 ，点 为棱 的中点． (1)求证： //平面 ； (2)若 为 上的动点， 为线段 的中点，试判断直线 与平面 的位置关系，并给出证明． 18.(本小题 17 分) 已知 的内角 ， 3 sin sin 3 2 ， 的对边为 ， ， ，且 ... ...
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