高三数学学科第五次月考 考试时间：120分钟 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．第I卷1至3页，第II卷3至6页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题纸交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（共45分） 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 当时， C. ，时，成对样本数据的相关系数满足 D. 必定满足经验回归方程 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增，且曲线存在对称轴 B. 在上单调递增，且曲线存在对称中心 C. 在上单调递减，且曲线存在对称轴 D. 在上单调递减，且曲线存在对称中心 6. 已知函数最小正周期为，则下列结论错误的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递增 7. 设为双曲线右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为，且满足，则双曲线的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案如下图，分别记为曲线，，，，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作等边三角形，再去掉底边．记为曲线所围成图形的面积，则（ ） A. B. C. D. 9. 欧阳南德与上官琐艾即将毕业，为了纪念美好的高中时代，二人来到南开工坊共同制作了属于他们的艺术品：该艺术品包括内外两部分，外部为一个正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“欧”、“阳”、“上”、“官”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“南”、“德”、“琐”、“艾”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒．已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为，为使内部正四面体在外部正四棱锥内（不考虑四棱锥表面厚度）可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为（ ） A. B. C. D. 第II卷（共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 是虚数单位，复数，则_____． 11. 在的展开式中，所有项系数的和为64，其展开式中项的系数是_____．（用数字填写答案） 12. 已知抛物线，圆，过轴上一点作直线分别与和相切于，两点，其中点坐标为，则_____． 13. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球是一黑一红”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则_____；_____． 14. 在平面凸四边形中，，分别为边，上的动点，已知，，． （1）当，分别为边，的中点时，线段的长为_____； （2）当时，线段长的最小值为_____． 15. 已知方程恰有4个不同实数解，则正实数的取值范围是_____． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，，求边上高； （3）若，求的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是的中点，是与的交点． （1）证明：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. ... ...
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