2025年中考数学总复习---全等三角形模型的应用（含解析）

2025年中考数学总复习 全等三角形模型的应用 1．如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在线段上（除外），求证： 2．如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点. (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)如图3，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由. 3．如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 4．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 5．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 6．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是_____． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 7．已知：在中，，，是内的一点，． (1)如图1，请写出与的大小关系，并证明． (2)如图2，点为的中点，连接，．用等式表示，之间的数量关系并证明． 8．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则_____； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 9．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是_____，和的数量关系是_____； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 10．综合与实践 【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：． 【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P． (1)如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为_____； (2)如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明． (3)如图5，当点M在线段上时的值为_____． 11．【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_____． A． B． C． D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置 ... ...