第五节 函数性质的综合应用 题点一 单调性与奇偶性相结合 [例1] (1)设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(-x)=f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 ( ) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组). [即时训练] 1.设函数f(x)=2|x|,则下列结论正确的是 ( ) A.f(-1)-3x2-6x的解集为 ( ) A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-2,0) D.(-1,0) |习得方略| 偶函数单调性改变 当函数f(x)为定义在R上的偶函数时, ①若x≥0时,f(x)单调递增,则x<0时,f(x)单调递减,即f(m)>f(n) |m|>|n|,f(x)+f(-x)>2f(m) |x|>|m|. ②若x≥0时,f(x)单调递减,则x<0时,f(x)单调递增,即f(m)>f(n) |m|<|n|,f(x)+f(-x)>2f(m) |x|<|m|. 题点二 奇偶性、对称性与周期性相结合 [例2] (2025·河源模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数,且y=f(2x)的图象关于直线x=1对称,若f(0)=-1,则f(i)= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 快审准解:函数的对称性求得f(1)=f(3)=0,f(2)=1,f(4)=-1,从而有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,再确定f(x)的周期,利用周期性求函数值的和. |思维建模| 解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.总之,要充分利用已知条件进行适当转化. [即时训练] 3.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数,f(2x+4)=f(2x),则下列结论一定正确的是 ( ) A.f(x)的周期为2 B.f(x)图象关于直线x=1对称 C.f(x+1)为偶函数 D.f(x+3)为奇函数 题点三 函数性质的综合应用 [例3] (多选)已知函数f(x)对 x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2),若函数f(x+3)的图象关于直线x=-3对称,且对 x1,x2∈[0,2],当x1≠x2时,都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则下列结论正确的是 ( ) A.f(2)=0 B.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期为4的周期函数 D.f(3)f(4) D.不等式f(x+3)>f(4x)的解集为∪(1,+∞) 第五节 函数性质的综合应用 题点一 [例1] (1)A (2)C (1)∵函数f(x)的定 ... ...
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